HABILIDADES NUMÉRICAS V - P4200-TEÓRICO-N0313-05-N01
Topic outline
Medidas de tendencia central
Introducción
En estadística descriptiva, uno de los principales objetivos es resumir los datos en valores representativos que reflejen el comportamiento general del conjunto. Las medidas de tendencia central cumplen este papel al identificar el punto alrededor del cual los datos tienden a concentrarse.
En la clase anterior se estudiaron métodos gráficos para representar distribuciones, como histogramas y polígonos de frecuencias. Ahora se complementa con el análisis numérico, que permite cuantificar “dónde se ubica” el centro de la información. Estas medidas son fundamentales en contextos prácticos: desde la determinación de promedios de producción hasta la planificación de presupuestos personales.
Valores atípicos
Observación inusualmente lejana al resto; puede influir fuertemente en la media.
Distribución
Forma en que los valores de una variable se reparten a lo largo de su escala.
Las medidas de tendencia central son valores numéricos que resumen una distribución indicando su “centro” o valor representativo. (Llinás Solano, H., 2017, pp. 10–66)
En estadística, estas medidas cumplen dos funciones principales:
Descriptiva: permiten presentar un conjunto de datos extensos en un valor sencillo que sintetiza la información.
Comparativa: facilitan el contraste entre diferentes grupos o periodos, por ejemplo, para evaluar el gasto promedio de un grupo de personas en distintos meses.
Existen tres medidas fundamentales: la media aritmética, la mediana y la moda. (Llinás Solano, H., 2017, pp. 10–66) Cada una responde a un criterio distinto de representatividad y puede variar según la distribución de los datos.
La media aritmética es el promedio clásico. Se calcula sumando todos los datos y dividiendo para el número de observaciones. (Llinás Solano, H., 2017, pp. 10–66) Refleja el equilibrio de la distribución: si se representaran los datos en una balanza, la media sería el punto de balance.
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
\]
Ejemplo:
Tabla 1
Registros de los gastos en libros $ de 5 estudiantes durante el mes
Estudiante
Gasto $
Observaciones
1
20
Valor individual
2
25
Valor individual
3
30
Valor individual
4
35
Valor individual
5
40
Valor individual
Total
150
Σ de los datos
Nota. El gasto promedio en libros por estudiante es de 30 $.
Estudiante 1
20 $ → Valor individual
Estudiante 2
25 $ → Valor individual
Estudiante 3
30 $ → Valor individual
Estudiante 4
35 $ → Valor individual
Estudiante 5
40 $ → Valor individual
Total
150 $ → Σ de los datos
Cálculo de la media
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
\]
\[
\bar{x} = \frac{150}{5} = 30
\]
La mediana es el valor central cuando los datos se ordenan de menor a mayor. (Llinás Solano, H., 2017, pp. 10–66) Si el número de observaciones es impar, corresponde al dato del medio; si es par, al promedio de los dos centrales.
Ejemplo:
Tabla 2
Tiempos de traslado al trabajo (minutos) para 12 personas
Posición i
x(i) (min)
1
15
2
17
3
18
4
19
5
20
6
21
7
23
8
24
9
26
10
27
11
28
12
32
Nota. La mitad de las personas tarda 22 minutos o menos en llegar al trabajo, y la otra mitad 22 minutos o más. La mediana es robusta frente a valores atípicos.
Posición 1
15 min
Posición 2
17 min
Posición 3
18 min
Posición 4
19 min
Posición 5
20 min
Posición 6
21 min
Posición 7
23 min
Posición 8
24 min
Posición 9
26 min
Posición 10
27 min
Posición 11
28 min
Posición 12
32 min
Para n=12 , la mediana es el promedio entre las posiciones n/2= 6 y n/2+1= 7
Valores correspondientes: X(6)= 21 y X(7)= 23
La moda es el valor que más se repite en un conjunto de datos. Su importancia radica en identificar lo más común, lo más frecuente o lo más popular. (Llinás Solano, H., 2017, pp. 10–66)
Ejemplo:
Tabla 3
Número de cafés consumidos por día en una oficina durante 30 observaciones
Cafés por día x
Frecuencia f
Frec. relativa
Porcentaje %
0
3
0.10
10
1
7
0.23
23
2
12
0.40
40
3
5
0.17
17
4
3
0.10
10
Total
30
1.00
100
Nota. Los datos muestran el consumo más frecuente en la oficina es de 2 cafés por día.
0 cafés
3 → 0.10 → 10%
1 café
7 → 0.23 → 23%
2 cafés
12 → 0.40 → 40%
3 cafés
5 → 0.17 → 17%
4 cafés
3 → 0.10 → 10%
Total
30 → 1.00 → 100%
El mayor conteo es f=12 para x=2.
Moda= 2 cafés/día
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Las medidas de tendencia central no solo son cálculos, sino guías para tomar decisiones.
La media refleja el equilibrio total de los datos, pero es sensible a valores extremos (outliers).
La mediana señala el valor central que divide a los datos en dos mitades: el 50 % superior y el 50 % inferior.
La moda identifica la categoría o valor más común, siendo práctica en análisis de consumo o preferencias.
En la práctica, se suelen calcular las tres medidas y comparar. Si coinciden, la distribución es aproximadamente simétrica; si difieren, se evidencia sesgo o particularidades de la muestra.
Tabla 4
Tabla comparativa de interpretación de medidas de tendencia central
Medida
Qué representa
Cuándo usarla
Ventajas
Limitaciones
Media
El promedio aritmético de todos los valores. Punto de equilibrio numérico.
Datos simétricos sin valores extremos.
Usa todos los datos; fácil de calcular; base para fórmulas estadísticas (varianza, desviación).
Muy sensible a valores atípicos (outliers).
Mediana
El valor central que divide a la población en dos mitades.
Datos con asimetría o presencia de valores extremos.
Robusta frente a outliers; refleja el “dato típico”.
No usa todos los valores, solo la posición.
Moda
El valor que aparece con mayor frecuencia.
Datos cualitativos o cuando interesa lo más común.
Simple de identificar; útil en estudios de mercado, consumo, preferencias.
Pueda no existir o haber más de una; menos estable en datos numéricos continuos.
Nota. Comparación de las medidas de tendencia central enfocada en la interpretación.
Media
Qué representa: El promedio aritmético de todos los valores. Punto de equilibrio numérico. Cuándo usarla: Datos simétricos sin valores extremos. Ventajas: Usa todos los datos; fácil de calcular; base para fórmulas estadísticas (varianza, desviación). Limitaciones: Muy sensible a valores atípicos (outliers).
Mediana
Qué representa: El valor central que divide a la población en dos mitades. Cuándo usarla: Datos con asimetría o presencia de valores extremos. Ventajas: Robusta frente a outliers; refleja el “dato típico”. Limitaciones: No usa todos los valores, solo la posición.
Moda
Qué representa: El valor que aparece con mayor frecuencia. Cuándo usarla: Datos cualitativos o cuando interesa lo más común. Ventajas: Simple de identificar; útil en estudios de mercado, consumo, preferencias. Limitaciones: Puede no existir o haber más de una; menos estable en datos numéricos continuos.
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Se calculará las medidas de tendencia central “media, mediana y moda” y comparar su coherencia.
Ejemplo 1: Ocho estudiantes registraron sus gastos en alimentación durante un mes. Se desea calcular la media, mediana y moda para identificar el gasto promedio, el gasto típico y el más frecuente.
Tabla 5
Gastos mensuales de 8 estudiantes
i
x(i) ($)
1
220.00
2
240.00
3
250.00
4
250.00
5
260.00
6
270.00
7
280.00
8
300.00
n = 8
Σx = 2,070.00
Nota. La tabla muestra los datos ordenados de menor a mayor, paso necesario para hallar la mediana y visualizar repeticiones para la moda.