Empecemos por definir algunos conceptos:

¿Que un proceso de experimentación?

Definimos los procesos de experimentación como el proceso de medir u observar una actividad con el fin de recopilar datos. Supongamos que nuestro experimento de interés implica que un jugador de football profesional lanza tiros libres al arco. Cada tiro libre se consideraría un ensayo para el experimento. Para este experimento en particular, solo tenemos dos resultados posibles para cada ensayo, o el tiro libre entra o no entra al arco. A estos resultados se conocen como un éxito o fracaso. A este tipo de experimento llamaremos experimento binomial. Por otro lado, la distribución multinomial representa las probabilidades de varios posibles resultados a través de múltiples experimentos.

¿Qué es un ensayo en distribución binomial?

Los resultados de la distribución binomial se denominan como éxito o fracaso. La palabra éxito no necesariamente significa un resultado positivo. Es solo el resultado que nos interesa evaluar. Del mismo modo, la palabra fracaso no necesariamente significa un resultado negativo es solo un resultado que no nos interesa, o que no está mencionado explícitamente en los enunciados de los problemas.

Veamos algunos ejemplos:

• Comprobar si una parte manufacturada es defectuosa
• Observar la cantidad de defectos de control de calidad de producción

6.1 Distribución binomial

Por otro lado, decimos que la distribución binomial es una distribución con reemplazo. El concepto es el siguiente. Supongamos que se tiene un ánfora llena de bolas rojas y azules, y tenemos una persona sacando una bola a la vez. Intuitivamente diríamos que, si ya ha retirado 3 bolas rojas, la probabilidad de volver a sacar más bolas rojas disminuye. Este sería un ejemplo de una distribución sin sustitución. Por otro lado, una distribución en la que no importa la cantidad de bolas rojas o azules ya extraídas previamente, si la probabilidad de volver a obtener el mismo color no cambia, se dice que es “con reemplazo”.

De acuerdo con Webster(2020) Un experimento binomial tiene las siguientes características:

• El experimento consiste en un número fijo de ensayos denotado por n, este es un valor entero mayor que 0
• Cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles, un éxito o un fracaso
• La probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso son constantes durante todo el experimento y es denotado por π
• Cada experimento indica la cantidad de éxitos que se desea obtener, denotado por x

Supongamos que la probabilidad de aprobar un examen de estadística es solo el 60%, por lo que la probabilidad de reprobar es del 40 por ciento. Esto representa un experimento binomial, con p = 0,60 (la probabilidad de un “éxito”) y q = 0,40 (la probabilidad de un “fracaso”).

Podemos calcular la probabilidad puntual de obtener x éxitos en n ensayos utilizando la función PMF como se muestra en la siguiente figura

Adaptación de la fórmula para la distribución binomial según Webster (2000) capitulo 5

Vale la pena recordar para este cálculo que 0!=1 y que x⁰=1

Así como en la clase 2 se mostró como obtener la media de un vector de datos, también se puede determinar la media de una distribución de probabilidad. La media aritmética de una distribución de probabilidad se llama el valor esperado E(X), y se halla multiplicando n por la probabilidad como se muestra en la siguiente figura.

Adaptación de la fórmula para la media en distribución binomial según Webster (2000) capitulo 5

Donde:

E(X) es el valor esperado o media

n es la cantidad de ensayos

π es la probabilidad de obtener una respuesta afirmativa

Y la varianza de la distribución se muestra en la siguiente figura

Adaptación de la fórmula para la varianza en distribución binomial según Webster (2000) capitulo 5

Generalmente es mejor visualizar la probabilidad para entender la distribución de los datos. A diferencia de las distribuciones continuas en las que preferíamos representarlo mediante un diagrama de densidad, para las distribuciones binomiales usaremos un histograma.

Veamos un ejemplo concreto:

De acuerdo con un estudio de educación universitarias, el 40% de los estudiantes trabajan durante el verano para ganar dinero para su colegiatura del siguiente semestre.

Si 7 estudiantes se seleccionan de manera aleatoria, cual es la probabilidad de que 1,2,3,4,5,6 o 7 estudiantes trabajen.

La solución consiste en encontrar 7 probabilidades binomiales para cada uno de los valores con lo cual obtenemos el siguiente resultado. Note que la suma de todas las probabilidades es siempre igual a 1, lo cual es un requisito para todas las distribuciones de probabilidad.

Por otro lado, es interesante mencionar como se aplica el teorema del límite central a este tipo de distribuciones. Recordando el teorema establece que a medida que n se vuelve más grande, la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal con una media de μ y un error estándar de σ/√n. Para esto graficaremos 3 distribuciones binomiales con valores de cantidad de éxitos de 10, 100 y 1000, con una probabilidad π=0.3 y graficamos. Notaremos como la distribución se va aproximando a una distribución gaussiana.

El siguiente código nos permite visualizar la aplicación del teorema del limite central.

Un caso especial de la distribución binomial es cuando n=1, esto es conocido como el ensayo de Bernoulli, si solo hay 1 ensayo con probabilidad de éxito p y probabilidad de fracaso 1-p, esto se llama distribución de Bernoulli.

La siguiente figura muestra la probabilidad de éxito y fracaso derivadas de las fórmulas anteriores

Figura 7

Probabilidad de éxito (a) y fracaso (b) en un ensayo de Bernoulli Prado A. (2025)

Adaptación de la fórmula de distribución binomial para un único ensayo según Webster (2000) capitulo 5

Donde:

$C\left(\mathrm{1,1}\right)$ N representa la cantidad de experimentos de Bernoulli

n representa la cantidad de éxitos esperados

P=π

De igual manera que vimos en la distribución normal, para el caso binomial tenemos las funciones que nos ayudan a calcular los resultados de un experimento puntual, que sería el PMF, o resultados acumulativos CDF. También de la misma forma la nomenclatura sigue los mismos lineamientos de la distribución normal, solo que en este caso sustituiremos el sufijo de norm por binom.

Donde:

x, q vector de cuantiles.

p vector de probabilidades.

n número de observaciones.

prob probabilidad de éxito en cada prueba

size número de pruebas.

lower.tail TRUE (default), probabilidad de P [ X ≤ x] , FALSE P [ X >x ]

Función dbinom

Esta función devuelve la densidad de probabilidad (PMF) de la distribución binomial dada un determinado valor que representa el número de resultados positivos que se desearía obtener, argumento x, en base a una cierta cantidad de ensayos dado por el argumento “size”, y cuando la probabilidad de éxito en cada ensayo es conocida y constante dado por el argumento “prob” .

Veamos un ejemplo

Función pbinom

Esta función devuelve el valor de la función de densidad acumulada (CDF) de la distribución binomial dada una determinada variable aleatoria q que representa el valor discreto debajo del cual o sobre el cual se desea acumular las probabilidades puntuales. El número de ensayos dado por el argumento “size” y con una probabilidad de éxito en cada ensayo constante y definida por el argumento “prob”. A fin de determinar si la probabilidad se acumula hacia la cola izquierda o cola derecha, utilizaremos el argumento lower.tail. lower.tail es una variable lógica, si esta toma el valor de verdadero (TRUE) indicaría que la acumulación es desde el valor discreto q hacia abajo (P [ X ≤ x]), caso contrario la acumulación es P([ X >x ]).

Veamos un ejemplo

Función qbinom

Esta función devuelve el valor de la función de densidad acumulativa inversa (CDF) de la distribución binomial dada una determinada variable aleatoria p que representa la probabilidad acumulada, con un número de ensayos definido por el argumento “size” y con probabilidad de éxito en cada ensayo dada por el argumento “prob”. El valor que devuelve es el p-ésimo cuantil de la distribución binomial, es decir el valor debajo del cual o sobre el cual se obtiene una probabilidad acumulada p. El argumento lower.tail es también usado en esta función y tiene igual significado que lo mencionado arriba.

Veamos un ejemplo

Función rbinom

Esta función genera un vector de variables aleatorias distribuidas binomialmente dada una longitud de vector n, una cantidad de ensayos dada por el argumento “size” y una probabilidad de éxito en cada ensayo “prob”.

Veamos un ejemplo:

Visualización de la probabilidad acumulativa

La mejor forma de visualizar estas probabilidades acumulativas es a través de la función geom_ribbon. El siguiente código explica cómo lograrlo en base a las probabilidades obtenidas de la figura 5.

En otros casos se busca conocer la probabilidad acumulativa para un rango de valores, por ejemplo: De acuerdo con un estudio de educación universitarias, el 40% de los estudiantes trabajan durante el verano para ganar dinero para su colegiatura del siguiente semestre.

Si 7 estudiantes se seleccionan de manera aleatoria, cual es la probabilidad de que entre 3 y 5 estudiantes trabajen. Esto lo podemos obtener mediante una diferencia de probabilidades binomiales.