En las clases anteriores habíamos mencionado el concepto de muestra y establecido que esta debe ser una parte representativa de la población que se selecciona para ser estudiada, ya que trabajar sobre la población generalmente es demasiado grande para hacer un trabajo de investigación viable. Por otro lado, si la población está estimada en cientos de miles o millones, entonces la muestra debería ser grande.

Pero trabajar con muestras grandes no siempre es posible; por ejemplo, un fabricante de autos debe certificar la resistencia de los modelos a choques frontales para salvaguardar la seguridad de los ocupantes, pero cada experimento que se realice será muy costoso debido a que terminará con la destrucción del vehículo. Esto puede ser muy costoso a largo plazo.

En otros casos, puede ser imposible contar con suficientes muestras. Por ejemplo, un laboratorio farmacéutico desea probar un nuevo fármaco que ha desarrollado. La población objetivo puede ser muy grande, de modo que se necesitaría una muestra grande. Pero el laboratorio podría tener problemas para conseguir suficientes candidatos dispuestos a someterse como voluntarios para probar el fármaco.

De acuerdo con Webster, A. (2000), cuando estudiamos el proceso general de muestreo, estadístico e inferencia del parámetro, indicamos que, si la muestra es representativa, podríamos, por ejemplo, inferir el sigma de la población en base al s de la muestra. Pero con muestras pequeñas, la diferencia entre sigma y s puede ser significativa; más aún, si se realizaran dos procesos de muestreo con pocas observaciones, los resultados de la inferencia poblacional serían diferentes. Aquí entra la distribución T.

La T es una familia de distribuciones de probabilidad continua utilizada al trabajar con poblaciones distribuidas normalmente, pero donde el tamaño de la muestra es pequeño y se desconoce la desviación estándar de la población.

La distribución t se utiliza cuando se cumplen tres condiciones:

1. La muestra es pequeña. La pregunta que surge es qué se considera pequeño. Como veremos más adelante, los valores del estadístico t se aproximarán a los del estadístico Z cuando la cantidad de observaciones sea mayor a 30. Es decir, si, por ejemplo, estamos tratando con una muestra de 10 observaciones, las diferencias entre Z y t serán significativas.
2. Sigma (σ) es desconocida. Normalmente, no conocemos la varianza y la desviación de la población. En la clase anterior, dijimos que, si no se conoce sigma, esta puede ser reemplazada por s/√n, pero con muestras pequeñas la diferencia entre sigma (σ) y s puede ser importante. Sin embargo, si σ es conocida, la distribución Z se usa incluso si la muestra es pequeña.
3. La población presenta una distribución normal o casi normal. Esto es así dado que con muestras pequeñas es difícil asegurar que esta sigue una distribución normal. Como veremos más adelante, existen varias funciones que pueden indicar si una muestra es normal, pero en este caso, con muestras pequeñas, debemos recurrir a funciones no paramétricas.

En base a los conceptos mencionados, podemos establecer el siguiente mapa de decisión.

Figura 1: Mapa de decisión para usar distribución Z o T
Creación autor Alfonso Prado

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TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Este teorema indica que, a medida que el tamaño de la muestra, n, se haga más grande, la distribución muestral de las medias de la muestra tenderá a seguir una distribución de probabilidad normal con una media igual a la media poblacional real, μ, y un error estándar de la media σ_x = σ/√n.

Esto es así independientemente de la distribución, que podría ser Student T, Poisson, Binomial, etcétera, de la que se extrajo la muestra.

El teorema del límite central nos asegura que si tomamos una muestra lo suficientemente grande (n ≥ 30), entonces la distribución muestral se distribuirá normalmente, independientemente de la distribución de la población en sí. Si la población de la que se extrajeron las muestras no es normal o si simplemente no sabemos si la población es normal o no, entonces el teorema del límite central se mantendrá siempre que tengamos una muestra grande de 30 o más.

En las clases, validaremos este concepto para las distribuciones de Poisson y Binomial.

Estadístico T
Al igual que el concepto del estadístico Z, la distribución T cuenta con un estadístico llamado t que nos indica qué tan alejada de la media se halla un valor x.

Este indicador nos sirve para analizar la probabilidad en la distribución t. Al igual que el Z en la distribución gaussiana, la distribución T es una distribución normal con forma de campana, pero la distribución normal es más alta en el centro y más baja en ambos extremos o colas. El área debajo representa la probabilidad de las observaciones, por lo que es probable que la mayoría de los puntos de datos estén cerca del centro del gráfico, mientras que es probable que haya menos puntos en las secciones más altas o bajas, representadas por el área más pequeña hacia las colas del gráfico.

Debido a lo anterior, la probabilidad PDF y CDF de T no son iguales a la distribución gaussiana o normal en todos los casos.

De acuerdo con Rumsay (2009), en muchos casos, no se conoce la desviación estándar de la población, σ. Para estimar la media de la población utilizando un intervalo de confianza cuando se desconoce σ, se utiliza la fórmula siguiente.

Figura 2: Fórmula de estadístico t

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Donde:

• µ = media de la población
• x = media de la muestra
• S = desviación estándar de la muestra
• n = Tamaño de la muestra

GRADOS DE LIBERTAD EN DISTRIBUCIÓN t

Decimos que la distribución T es una “familia” debido a que su forma y probabilidades varían dependiendo del concepto de Grados de Libertad, que describimos a continuación:

En general, podemos decir que una variable puede tomar una cantidad infinita de valores. Pero cuando existen restricciones, entonces no todos los valores son posibles. Veamos un ejemplo: Se dispone de un conjunto de valores como {x1, x2, x3, x4}, para una variable, pero hay una restricción, digamos que la suma debe ser 20. Entonces, si en un momento determinado tengo {1, 4, 5, }, las primeras 3 variables pueden tomar cualquier valor, es decir, tengo 3 grados de libertad. Pero la cuarta está sujeta a la restricción (tiene que ser 10).

Cuando se toma una muestra, de longitud n, n-1 vienen a ser los grados de libertad de la variable.

En general, definimos los grados de libertad como el número de observaciones menos el número de restricciones impuesta sobre tales observaciones.

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN T

Una distribución t es simétrica. Es una distribución en forma de campana que asume la forma de una distribución normal y tiene una media de cero.

Su distribución está parametrizada en base a los grados de libertad v = n - 1, donde n es el tamaño de la muestra.

Su varianza = v / (v - 2), donde v representa el número de grados de libertad o en función de n como se muestra en la siguientes figura.

Figura 3: Varianza de la distribución T

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La varianza es mayor que 1 en todo momento. Sin embargo, tenga en cuenta que se acerca mucho a uno cuando hay muchos grados de libertad. Con una gran cantidad de grados de libertad, una distribución t se parece a una distribución normal.

Las colas de una distribución t son más gruesas y menos puntiagudas que las de una distribución normal, lo que indica una mayor probabilidad en las colas.

La forma de una distribución t cambia con el cambio en los grados de libertad. Cuanto mayor sean los grados de libertad, mayor será la probabilidad de que ocurra y cuanto mayor sea la magnitud, más se parecerá la forma de una distribución t a una distribución normal estándar.

La densidad de probabilidad PDF se calcula con la siguiente fórmula.

Figura 4: Función de densidad (PDF) de la distribución T

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Mediante la formula anterior, podemos realizar el siguiente diagrama de la distribución en función de los grados de libertad.

Figura 5: Distribución T en función de grados de libertad
Creación de autor Alfonso Prado

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Funciones programáticas distribución t

Al igual que en la distribución normal, los prefijos usados para las funciones de distribución siguen siendo los mismos:

• d: para densidad
• p: para probabilidad acumulada
• q: para obtener el inverso de p
• r: para crear un vector con determinados grados de libertad

El sufijo será siempre t.

Figura 6: Funciones programáticas de distribución T

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Donde:
v = grados de libertad
x = vector de valores
q = vector de cuantiles
p = vector de probabilidades
lower.tail = TRUE para calcular P[X ≤ x], FALSE para calcular P[X > x]

Descripción de las funciones:
dt proporciona la densidad, pt proporciona la función de distribución, qt proporciona la función de cuantiles y rt genera desviaciones aleatorias.
Los argumentos no válidos generarán el valor de retorno NaN, con una advertencia.

Intervalo de confianza para la media poblacional:
Una vez entendido el cálculo del estadístico t, podemos usarlo para inferir la media poblacional. Nótese que es similar a la fórmula utilizada en la distribución Z, pero en este caso sustituiremos el estadístico Z por t. Nuestra fórmula quedaría como se describe en la siguiente figura.

Figura 7: Intervalo de confianza para la media poblacional

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Donde:
X es la media muestral
t es el estadístico calculado con los grados de libertad

¿Ahora nos preguntamos qué pasa si tengo 2 muestras de la misma población, pero con distinta cantidad de observaciones? Obviamente, los grados de libertad serán diferentes y posiblemente la desviación estándar también lo sea.

¿Cada una de estas muestras nos daría una media estimada para la población diferente? ¿Cuál vale?

Aquí tenemos dos casos: que las varianzas sean iguales entre las dos muestras y que las varianzas sean diferentes.

Si las varianzas son iguales, vamos a calcular una varianza ponderada, en donde los pesos son los grados de libertad n – 1 para cada muestra. Esta estimación ponderada se muestra en la siguiente figura:

Figura 8: Varianzas ponderadas

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El intervalo de confianza para la diferencia entre las dos medias poblacionales se halla entonces con una distribución t con grados de libertad n₁ + n₂ - 2.

Figura 9: Intervalo de confianza para la diferencia entre medias poblacionales cuando σ1 = σ2

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Por otro lado, cuando las varianzas son diferentes se puede aproximar los grados de libertad según la siguiente figura

Figura 10: Grados de libertad ponderados cuando σ1 ≠ σ2

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Y el intervalo de confianza para la diferencia entre medias poblacionales se calcularía de acuerdo con la siguiente figura:

Figura 11: Intervalo de confianza para la diferencia entre medias

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Veamos algunos ejemplos de cómo se puede usar la distribución t.

Ejercicio 1: Un fabricante de focos asegura que su producto dura 500 horas. Es imposible hacer un muestreo grande para validar, esta es una pista que debemos usar distribución T.
Se hace una muestra con 25 focos. La media obtenida es 505.36 y una s = 12.07.
Pregunta: ¿Está o no garantizada la calidad mencionada por el fabricante?

Para resolver este problema podemos hacerlo de dos maneras distintas:

a) Calculando la media poblacional

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b) Comparando Tcalculado vs. Tcrítico. En este caso, vamos a calcular qué tan distanciado está la muestra con respecto a un Tcrítico obtenido para el 95% de intervalo.

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En base a este último código obtenemos la siguiente figura:

Figura12: Resolución analítica del problema anterior

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En la gráfica podemos notar que la recta roja corresponde al Tcritico al 95%, es decir, que debajo de esa línea se ubicarán el 95% de las posibilidades. Y la recta azul corresponde al t-calculado de la muestra, que se encuentra hacia la derecha, esto indica que la calidad de los focos es todavía mejor que lo garantizado por el fabricante.

Ejercicio 2
En la cafetería de los estudiantes de la PUCE, existen máquinas expendedoras de café. Una muestra de 15 tazas arroja una media de 15.3 onzas, con una varianza de 3.5. Estudiantes indican que la cantidad de café dispensado no es la correcta. Se solicita al proveedor recalibrar la máquina, después de lo cual se realiza una nueva medición: una muestra de 10 tazas produce un promedio de Primero debemos darnos cuenta de que lo que solicita el problema es la diferencia entre medias, considerando que existen dos muestras pequeñas con varianza igual. Por lo tanto, las fórmulas que aplican son las de las figuras 8 y 9.

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Análisis: Revisando la respuesta de los intervalos de la diferencia (ID_bajo , ID_alto) notamos que esta diferencia no incluye el valor de 0, por lo tanto, podemos concluir que sí existió una diferencia después de la recalibración.

Empecemos por definir algunos conceptos:

¿Qué es un proceso de experimentación?
Definimos los procesos de experimentación como la acción de medir u observar una actividad con el fin de recopilar datos. Supongamos que nuestro experimento de interés implica que un jugador de fútbol profesional lanza tiros libres al arco. Cada tiro libre se consideraría un ensayo para el experimento. Para este experimento en particular, solo tenemos dos resultados posibles para cada ensayo: el tiro libre entra o no entra al arco.

A estos resultados se conocen como un éxito o fracaso. A este tipo de experimento llamaremos experimento binomial. Por otro lado, la distribución multinomial representa las probabilidades de varios posibles resultados a través de múltiples experimentos.

¿Qué es un ensayo en distribución binomial?

Los resultados de la distribución binomial se denominan éxito o fracaso. La palabra éxito no necesariamente significa un resultado positivo. Es solo el resultado que nos interesa. Del mismo modo, la palabra fracaso no necesariamente significa un resultado negativo; es solo un resultado que no nos interesa, o que no está mencionado explícitamente en los enunciados de los problemas.

Veamos algunos ejemplos:

• Comprobar si una parte manufacturada es defectuosa.
• Observar la cantidad de respuestas correctas en un examen de opción múltiple.

¿Qué es una prueba con reemplazo?

Decimos que la distribución binomial es una distribución con reemplazo. El concepto es el siguiente:

Supongamos que se tiene un ánfora llena de bolas rojas y azules, y una persona saca una bola a la vez. Intuitivamente, diríamos que si ya ha retirado tres bolas rojas, la probabilidad de volver a sacar más bolas rojas disminuye. Este sería un ejemplo de una distribución sin sustitución.

Por otro lado, si la probabilidad de volver a obtener el mismo color no cambia, sin importar cuántas bolas rojas o azules ya se hayan extraído previamente, se dice que es una distribución con reemplazo.

Figura 1: Distribución binomial con reemplazo.

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¿Qué es el experimento binomial?

De acuerdo con Webster (2020), un experimento binomial tiene las siguientes características:

• El experimento consiste en un número fijo de ensayos, denotado por n; este es un valor entero mayor que 0.
• Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles, un éxito o un fracaso.
• La probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso son constantes durante todo el experimento y están denotados por π.
• Cada experimento indica la cantidad de éxitos que se desea obtener, denotado por x.

Funciones matemáticas de la distribución binomial

Supongamos que la probabilidad de aprobar un examen de estadística es solo el 60%, por lo que la probabilidad de reprobar es del 40%. Esto representa un experimento binomial, con p = 0.60 (la probabilidad de un “éxito”) y q = 0.40 (la probabilidad de un “fracaso”).

Podemos calcular la probabilidad puntual de obtener x éxitos en n ensayos utilizando la función PMF como se muestra en la siguiente figura.

Figura 2: PMF de la distribución binomial

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Vale la pena recordar para este cálculo que 0!=1 y que x0=1

Así como en la clase 2 se mostró como obtener la media de un vector de datos, también se puede determinar la media de una distribución de probabilidad. La media aritmética de una distribución de probabilidad se llama el valor esperado E(X), y se halla multiplicando n por la probabilidad como se muestra en la siguiente figura.

Figura 3: Media de la distribución de probabilidad discreta

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Y la varianza de la distribución se muestra en la siguiente figura

Figura 4: Varianza de la distribución binomial

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Generalmente, es mejor visualizar la probabilidad para entender la distribución de los datos. A diferencia de las distribuciones continuas en las que preferíamos representarlo mediante un diagrama de densidad, para las distribuciones binomiales usaremos un diagrama de barras.

Veamos un ejemplo concreto:

De acuerdo con un estudio de educación universitaria, el 40% de los estudiantes trabajan durante el verano para ganar dinero para su colegiatura del siguiente semestre.

Si 7 estudiantes se seleccionan de manera aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7 estudiantes trabajen?

La solución consiste en encontrar 7 probabilidades binomiales para cada uno de los valores, con lo cual obtenemos el siguiente resultado. Note que la suma de todas las probabilidades es siempre igual a 1, lo cual es un requisito para todas las distribuciones de probabilidad.

Figura 5: Solución del problema
Creación autor Alfonso Prado

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Por otro lado, es interesante mencionar como se aplica el teorema del límite central a este tipo de distribuciones. Recordando el teorema establece que a medida que n se vuelve más grande, la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal con una media de μ y un error estándar de σ/√n. Para esto, graficaremos 3 distribuciones binomiales con valores de cantidad de éxitos de 10 , 100 y 1000 , con una probabilidad π=0.3, y graficamos. Notaremos cómo la distribución se va aproximando a una distribución gaussiana.

El siguiente código nos permite visualizar la aplicación del teorema del límite central.

                        
# Aproximación a la distribución normal 

df_10 <- data.frame(Exitos = rbinom(n=10000, size=10, prob=0.3), Size=10)
df_10

df_100 <- data.frame(Exitos = rbinom(n=10000, size=100, prob=0.3), Size=100)
df_100

df_1000 <- data.frame(Exitos = rbinom(n=10000, size=1000, prob=0.3), Size=1000)
df_1000

todo <- rbind(df_10, df_100, df_1000)
head(todo)
tail(todo)

ggplot(data=todo, aes(x=Exitos)) + 
    geom_histogram() + 
    facet_wrap(~Size, scales="free")
                        
                    

Figura 6: Demostración del teorema del límite central en distribución binomial
Creación autor Alfonso Prado

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Un caso especial de la distribución binomial es cuando n=1; esto es conocido como el ensayo de Bernoulli. Si solo hay un ensayo con probabilidad de éxito p y probabilidad de fracaso 1-p, esto se llama distribución de Bernoulli.

La siguiente figura muestra la probabilidad de éxito y fracaso derivadas de las fórmulas anteriores

Figura 7: Probabilidad de éxito (a) y fracaso (b) en un ensayo de Bernoulli

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De igual manera que en la distribución normal, para el caso binomial tenemos las funciones que nos ayudan a calcular los resultados de un experimento puntual, que sería el PMF, o resultados acumulativos CDF. También, de la misma forma, la nomenclatura sigue los mismos lineamientos de la distribución normal, solo que en este caso sustituiremos el sufijo de norm por binom.

Funciones programáticas

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Donde:
x, q: vector de cuantiles.
p: vector de probabilidades.
n: número de observaciones.
prob: probabilidad de éxito en cada prueba.
size: número de pruebas.
lower.tail: TRUE (default), probabilidad de P[X ≤ x]; FALSE, probabilidad de P[X > x].

Función dbinom

Esta función devuelve la densidad de probabilidad (PMF) de la distribución binomial, dada una determinada cantidad que representa el número de resultados positivos deseados (x), en función de una cierta cantidad de ensayos (size) y de una probabilidad de éxito constante en cada ensayo (prob).

Veamos un ejemplo:

                        
                        #Supongamos que los ítems producidos en una fábrica tienen una probabilidad de 0.005 
#de ser defectuosos. Pero estos ítems se envían en cajas de cartón con 25 unidades
#La fábrica produce 1500 ítems diarios. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja de cartón elegida al azar contenga exactamente un ítem defectuoso?
#En este caso el valor de 1500 ítems no tiene ninguna importancia, porque se está preguntando por caja

dbinom(x=1, size=25, prob=0.005)
[1] 0.1108317

                        
                    

Función pbinom

Esta función devuelve el valor de la función de densidad acumulada (CDF) de la distribución binomial, dada una variable aleatoria q que representa el valor discreto a partir del cual se desea acumular la probabilidad. El número de ensayos se indica mediante el argumento size, y la probabilidad de éxito en cada ensayo se define con el argumento prob.

Para determinar si la probabilidad se acumula hacia la cola izquierda o derecha, se utiliza el argumento lower.tail. Este es un valor lógico: si es TRUE, la acumulación es desde el valor discreto qhacia abajo (P[X ≤ x]); caso contrario, la acumulación es P[X > x].

Veamos un ejemplo:

                        
           
#Un fabricante de discos USB externos para computadora entrega su producto en cajas de 20 discos. La tasa de fallos en los discos es del 10% . se desea saber cuál es la probabilidad de que 2 o más de los discos estén defectuosos y asumiendo esa probabilidad cual variación que el cliente esperaría encontrar de una caja a otra? 
n=20
prob=.1
x=3

p<- pbinom(x,n,prob=prob, lower.tail=FALSE)
var= 20*p*(1-p)
var
[1] 2.305535

                        
                    

Función qbinom

Esta función devuelve el valor de la función de densidad acumulativa inversa (CDF) de la distribución binomial, dada una determinada variable aleatoria p, que representa la probabilidad acumulada, un número de ensayos (size) y una probabilidad de éxito en cada ensayo (prob). El valor devuelto es el cuantil p-ésimo, es decir, el valor debajo del cual (o sobre el cual) se acumula dicha probabilidad.

El argumento lower.tail se utiliza de la misma forma que en la función pbinom.

Veamos un ejemplo:

                        
           
#Sobre el mismo ejemplo anterior de la fábrica
#Cuál es la cantidad de ensayos que tengo que hacer para obtener una probabilidad de 30% ,teniendo un universo=10 y cuando cada prueba tiene una probabilidad del 40%
qbinom(p=.3 , size=10 ,prob=.4)
[1] 3


                        
                    

Función rbinom

Esta función genera un vector de variables aleatorias distribuidas binomialmente dada una longitud de vector n>, una cantidad de ensayos indicada por el argumento size, y una probabilidad de éxito en cada ensayo prob.

Veamos un ejemplo:

                        
           
#Suponga que está a cargo del QC de una fábrica. La fábrica hace 150 ítems por día. 
#Los ítems defectuosos deben ser re elaborados. Sabemos que hay una tasa de error histórico del 5%. Queremos estimar cuantos ítems necesitaremos arreglar cada día esta semana (laboral).
#Usamos rbinom para generar una serie con estas características, porque rbinom y no rnorm, bueno el enunciado es que ya sea el item o está bien manufacturado o no, esto hace que usemos la distribución binomial 

rbinom (n=5 , size=150 , prob=.05)
#por que n=5? Es para poner en la misma unidad, si fabricamos 150 por semana, queremos 5 muestras en la semana para tener una diaria, cada muestra representará la cantidad de pruebas con ítems malos. 
size y prob son obvios 

#Veamos casos extremos(tendríamos que reparar casi todos)
rbinom (n=5 , size=150 , prob=.9)
#Para n=1 solo una prueba que es la distribución de Bernoulli
rbinom (n=1 , size=10 , prob=.5)

                        
                    

Visualización de la probabilidad acumulativa

La mejor forma de visualizar estas probabilidades acumulativas es a través de la función geom_ribbon. El siguiente código ilustra cómo lograrlo a partir de los valores obtenidos en la figura 5.

                        
           
#Primero debemos obtener un dataset que contenga el valor de x y su probabilidad
df0 <- data.frame(x=NULL , prob=NULL)
for ( a in seq(from=0, to=7, by=1))
{
 print(a)
 prob= dbinom(a,7,0.4)
 dfline=data.frame(x=a, prob=prob)
 df0 <- rbind(df0, dfline)
 
}
df0
#La vista del dataset nos presenta las probabilidades puntuales para cada valor de x
#Ahora nos interesa saber la probabilidad acumulada para el valor de 4, implícitamente se estaría usando lower.tail=TRUE
 x   prob
1 0 0.0279936
2 1 0.1306368
3 2 0.2612736
4 3 0.2903040
5 4 0.1935360
6 5 0.0774144
7 6 0.0172032
8 7 0.0016384

pbinom(4,7,0.4, lower.tail=TRUE)
[1] 0.903744
#Creamos un subset de las probabilidades obtenidas

dfsub <- subset(df0, x>= 0 & x<= 4)
View(dfsub)
 x   prob
1 0 0.0279936
2 1 0.1306368
3 2 0.2612736
4 3 0.2903040
5 4 0.1935360

ggplot(data=df0, aes(x=x, y=prob)) +geom_line()+
 geom_ribbon(data=dfsub, aes(ymax=prob),ymin=0,fill="RED")


                        
                    

Figura 8: Probabilidad acumulativa en distribución binomial

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En otros casos se busca conocer la probabilidad acumulativa para un rango de valores, por ejemplo: De acuerdo con un estudio de educación universitarias, el 40% de los estudiantes trabajan durante el verano para ganar dinero para su colegiatura del siguiente semestre.

Si 7 estudiantes se seleccionan de manera aleatoria, cual es la probabilidad de que entre 3 y 5 estudiantes trabajen. Esto lo podemos mediante una diferencia de probabilidades binomiales.

                        
           
#Primero debemos obtener un dataset que contenga el valor de x y su probabilidad
df0 <- data.frame(x=NULL , prob=NULL)
for ( a in seq(from=0, to=7, by=1))
{
 print(a)
 prob= dbinom(a,7,0.4)
 dfline=data.frame(x=a, prob=prob)
 df0 <- rbind(df0, dfline)
 
}
df0
#La vista del dataset nos presenta las probabilidades puntuales para cada valor de x
#Ahora nos interesa saber la probabilidad acumulada para el valor de 4, implícitamente se estaría usando lower.tail=TRUE
 x   prob
1 0 0.0279936
2 1 0.1306368
3 2 0.2612736
4 3 0.2903040
5 4 0.1935360
6 5 0.0774144
7 6 0.0172032
8 7 0.0016384


dfsub <- subset(df0, x>= 3 & x<= 5)
dfsub7 <- subset(df0, x>= 5 )
View(dfsub)
ggplot(data=df0, aes(x=x, y=prob)) +geom_line()+
 geom_ribbon(data=dfsub, aes(ymax=prob),ymin=0,fill="RED")+
 geom_ribbon(data=dfsub7,aes(ymax=prob),ymin=0,fill="BLUE")

#podemos validarlo
m3 <- pbinom(2,7,0.4, lower.tail=FALSE)
m5<- pbinom(5,7,0.4, lower.tail=FALSE)
entre3_5 = m3-m5
entre3_5
[1] 0.5612544

#Del grafico podemos concluir que lo que la probabilidad de que entre 3 y 5 estudiantes trabajen durante el verano lo obtenemos mediante la resta de probabilidades de más de 3 estudiantes menos la probabilidad de más de 5 estudiantes. Según se muestra en la siguiente figura



                        
                    

Figura 9: Visualización de rango de probabilidades binomiales

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