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  • Medición de probabilidad variables discretas 2

    • Introducción

      Ahora que dominamos la distribución de probabilidad binomial, estamos listos para pasar a la siguiente distribución teórica discreta: la de . Esta distribución de probabilidad recibe su nombre de Simeon Poisson, un matemático francés que la desarrolló a principios del siglo XIX.r

      La distribución de Poisson es útil para calcular la probabilidad de que ocurra una cierta cantidad de eventos durante un período de tiempo o espacio específico. Por ejemplo, podríamos usar esta distribución para determinar la probabilidad de que 10 clientes entren a una tienda durante la próxima hora, o que ocurran 2 accidentes automovilísticos en una intersección concurrida este mes.

    • Para entender la distribución de Poisson debemos recordar los siguientes conceptos de la teoría de probabilidades.

      Frecuencia Relativa

      Este modelo utiliza los datos de las observaciones que se han registrado; con base a estos, calcula la frecuencia con la que se ha presentado dicho evento y, en base a esta frecuencia, determina la probabilidad.

      Nombre_de_la_figura

      Figura 1: Fórmula de frecuencia relativa

      Este modelo es también llamado a posteriori, dado que la probabilidad del evento se calcula luego de ser recabada la información.

      También hay que recordar que, al calcular este tipo de probabilidad, pueden presentarse algunos problemas. Por ejemplo, de la fórmula podemos deducir que, si las observaciones no incluyen una o más opciones, será imposible su cálculo de probabilidad; además, si se cuenta con pocas observaciones, sus resultados pueden ser engañosos.

      Esta distribución, ideada por Simeon Poisson en 1840, se refiere a variables aleatorias de naturaleza discreta que tratan de inferir la frecuencia relativa de un evento sobre alguna unidad de tiempo o espacio. Por ejemplo, se utiliza para describir el número de llegadas de clientes por hora, el número de accidentes cada mes, el número de defectos en un enlace de fibra óptica por kilómetro, etcétera. Es decir, cada vez que se vea un enunciado en el que se pretende conocer el valor de una variable por tiempo o espacio, será una clave para revisar la distribución de Poisson.

      Qué es un proceso de Poisson

      De acuerdo con Donnelly R. (2019), un proceso de Poisson tiene las siguientes características:

      • El experimento consiste en contar el número de ocurrencias de un evento durante un período de tiempo, área, distancia o cualquier otro tipo de medición, este valor será dado por el argumento k.
      • La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos intervalos cualesquiera de tiempo o espacio. Por ejemplo, si seis clientes entran a la tienda durante la primera hora de actividad, esto no tendría ningún efecto en el número de clientes que llegarían durante la segunda hora, esto estaría calculado en la media como se menciona a continuación.
      • La media de la distribución de Poisson tiene que ser la misma para cada intervalo de medición y se denota con el argumento λ.
      • El número de ocurrencias durante un intervalo es independiente del número de ocurrencias en cualquier otro intervalo.
      • Los intervalos no se superponen. Por ejemplo, al contar el número de clientes que entran a la tienda en períodos de una hora, los períodos de una hora no pueden superponerse entre sí. Podemos contar el número de clientes que llegan entre las 9 y las 10 a. m. y entre las 10 y las 11 a. m., y así sucesivamente, pero no podemos utilizar otro período de 9:30 a 10:30 a.m. porque se superpone con los otros intervalos.

      FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

      Recordando el concepto de la función PMF, esta calcula una probabilidad puntual; por ejemplo, la probabilidad de que entren 3 personas a una tienda asumiendo un lambda de x. De acuerdo con Webster (2020), dado los supuestos mencionados arriba, la función de probabilidad estará dada por la siguiente fórmula:

      Nombre_de_la_figura

      Figura 2: Función PMF para la distribución de Poisson

      ¡Note que al encontrar un k! implica que la variable debe ser discreta, dado que no es posible calcular el factorial de un valor con decimales.

      A diferencia de la distribución binomial, en la cual el experimento toma solo dos posibles resultados (el evento se presenta o no), en el proceso de Poisson se puede tener cualquier cantidad de resultados en la unidad de medida. Por ejemplo, la cantidad de clientes que ingresan a un banco físicamente durante la siguiente hora podría ser cero, uno, dos, tres, etc. La variable aleatoria para la distribución de Poisson sería la cantidad real de ocurrencias, en este caso, la cantidad de clientes que llegan durante la siguiente hora. Con esto en mente, entonces el CDF, que es la función de probabilidad acumulativa, se evalúa como la sumatoria de las probabilidades de todos los posibles valores de la variable discreta (x) que sean menores al valor k, dando como resultado la siguiente fórmula, por lo que es importante revisar la fórmula CDF de esta distribución.

      Nombre_de_la_figura

      Figura 3: Función CDF para distribución de Poisson

      Note la sumatoria de todas las posibilidades de X menores a K

      Aprende más

      Para conocer más sobre las fórmulas de la distribución, puedes leer el siguiente artículo ¡Accede aquí!

      Nombre_de_la_figura

      Figura 4:Media o valor esperado de aciertos (a), Varianza (b) y Desviación (c) de la distribución de Poisson
      Creación de autor Alfonso Prado

      TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL EN POISSON

      Por otro lado, es interesante mencionar cómo se aplica el teorema del límite central a la distribución de Poisson. Recordemos que el teorema establece que, a medida que n se vuelve más grande, la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal con una media de μ y un error estándar de σ/√n. En este caso, n serían todos los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria y, por consiguiente, está relacionado con lambda. En otras palabras, si indicamos que λ = 5, los valores posibles que puede tomar la variable se ubican alrededor de la media 5; es decir, son unos pocos valores, pero si estamos trabajando con un lambda de 100, los valores de X aumentarán considerablemente, aunque las probabilidades de algunos puedan ser muy bajas.

      Cuando lambda es pequeño, podemos observar la densidad de estos pocos valores; sin embargo, a medida que lambda aumenta, la cantidad de posibles valores se expande y su densidad va delineando la campana de Gauss.

      El siguiente código nos permite visualizar la aplicación del teorema del límite central.

      Código 
                              
           
#Primero vamos a crear varios datasets que cumple con una distribución de Poisson con distintos lambda
p1 <- rpois(n=10000 , lambda=1)
p2 <- rpois(n=10000 , lambda=2)
p3 <- rpois(n=10000 , lambda=5)
p4 <- rpois(n=10000 , lambda=10)
p5 <- rpois(n=10000 , lambda=20)

#Colocamos todos los datasets en el mismo dataframe
pos_df <- data.frame(l1=p1, l2=p2, l5=p3, l10=p4, l20=p5)
head(pos_df)

# Para poder visualizar mejor vamos a transponer las columnas en filas 
#la función melt pasa valores que están en columnas a filas en una columna
#llamada valor en este caso 
pos_melted <- melt( data=pos_df , variable.name="lambda", value.name="valor")
head(pos_melted)
class(pos_melted$lambda)

#Si la columna lambda fuera de tipo "character", necesitaríamos convertirla en tipo factor  para poder manejar el agrupamiento, para lo cual deberemos hacer una conversión si arriba salió tipo factor estamos OK 

head(pos_melted)
tail(pos_melted)
class(pos_melted$lambda)

#Visualizamos la  densidad
ggplot(pos_melted , aes(x=valor))+
  geom_density(aes(group=lambda, color=lambda, fill= lambda , alpha=1/2 ) )+
  scale_color_discrete() +
  scale_fill_discrete()+
 xlab(“Valor de X”)
      Nombre_de_la_figura

      Figura 5: Demostración del teorema del límite central
      Creación de autor Alfonso Prado

      Al igual que la distribución normal, los prefijos usados para las funciones de distribución siguen siendo los mismos: "d" para densidad, "p" para probabilidad acumulada, "q" para obtener el inverso de p y "r" para crear un vector con determinado lambda, y el sufijo será siempre "pois".

      Nombre_de_la_figura

      Figura 6: Funciones programáticas de la distribución Poisson
      Creación de autor Alfonso Prado

      x
      Vector de cuantiles que (enteros positivos).
      q
      Vector de cuantiles.
      p
      Vector de probabilidades.
      n
      Número de valores aleatorios a devolver.
      Lambda
      Vector de medias (no negativas).
      Aprende más

      Para conocer más sobre funciones programáticas, puedes leer el siguiente artículo ¡Accede aquí!

      Veamos ejemplos de uso de las funciones

      Función rpois
      Esta función retorna una cantidad dada de valores que cumplen con una media de distribución dada por lambda en un tiempo definido o en un espacio determinado.

      Código 
                              
                        #Generar una serie con la distribución de Poisson
#La función rpois() obtiene la serie 
#la sintaxis es: 
#rpois(n, lambda)
#Donde: 
#n   es el número de valores deseados que deseamos 
#lambda  media histórica por unidad de tiempo 

#Ejemplo: Generar una serie de 10 elementos que representa la ocurrencia de un evento,
cuya media por unidad de tiempo ha sido 10
p0 <- rpois(n=10 , lambda=10)
p0
[1]  9  6 14 11  5 13  8 11 18 11

mean(p0)
[1] 10.6

#Note: la media se aproxima a lambda en la distribución de Poisson, pero no es exactamente 10. 
Esto se debe a la pequeña cantidad de valores generados.#Intentando con un n más grande.

p0 <- rpois(n=1000 , lambda=5)
head(p0,n=15)
[1] 5 6 3 7 7 4 3 6 1 3 4 5 2 5 3
mean(p0)
[1] 5.0324
#Vemos que se acerca más

      Función dpois
      Esta función permite calcular la densidad de probabilidad para un valor puntual de x. En otras palabras, corresponde a la función de masa de probabilidad PMF. Si x es un vector, calculará la densidad para cada uno de los valores.

      Código 
                              
                        #Su sintaxis es:
#dpois(x, lambda, log = FALSE)
#Donde: 
#x   Vector de cuantiles.
#lambda  es la media histórica
#log     TRUE su se desea obtener log(P[X]) FALSE si se desea obtener P[X]

#Ejemplo: Cuál es la probabilidad de hacer de exactamente 4 ventas en una semana si la tasa de ventas promedio es de 3 por semana?

dpois(4, lambda=3)
[1] 0.1680314

#Otro ejemplo: Una compañía constructora es responsable por la construcción de un  edificio, 
al terminar el mismo se han detectado 2 defectos por cada piso.  
Para el nuevo contrato, la contratante desea poner una multa por defectos 
Le preguntan a usted cual es la probabilidad de tener 3 defectos por piso.

dpois(3,lambda=2)

      Es importante mencionar que el valor de x debe estar expresado en las mismas unidades que lambda. En caso contrario, se debe convertir lambda para que ambos coincidan en unidades. La conversión puede hacerse con la siguiente fórmula:

      Nombre_de_la_figura

      Veamos un ejemplo:

      Nombre_de_la_figura

      Función ppois
      Esta función calcula la probabilidad acumulativa CDF para una distribución Poisson, tomo como argumentos el vector de cuantiles q, el lambda y el argumento de lower.tail que tiene igual significación que lo visto anteriormente.

      Ejemplo
      El número medio de automóviles que pasan por la intersección en una minuto determinada es λ = 15. Si queremos saber la probabilidad de que pasen exactamente 13 automóviles por ella en la próxima minuto.

      Nombre_de_la_figura

      Pero más comúnmente las autoridades estarán interesadas en saber la probabilidad de que la cantidad de vehículos por minuto sea 20 o más, porque en dicha situación los mecanismos de control del tránsito ya no funcionarían .

      Nombre_de_la_figura

      Ejemplo con conversión de lambda

      Si usted recibe llamadas al celular a una tasa constante 2 llamadas por hora. Si usted va al cine y se olvida de apagar su celular, ¿cuál es la probabilidad de que en una película de 1.5 horas, su teléfono timbre?

      De este problema debemos notar dos cosas, la primera es que otra vez el lambda del enunciado no está en la misma unidad del lambda que se pregunta. Y la segunda es que el enunciado no indica si el teléfono sonará 1,2, o más veces, por lo tanto, concluimos que estamos ante una pregunta de probabilidad acumulativa o CDF.

      Nombre_de_la_figura

      CÓMO VISUALIZAR LA DENSIDAD DE PROBABILIDAD

      Entender las probabilidades es mucho más fácil en forma visual. Veamos un ejemplo: Una comercializadora tiene un promedio de ventas a 3 clientes por hora, queremos saber: cuál es la probabilidad de que en la próxima hora de consigan 0,1,2,3,4,5,6,7,9 o 10 ventas.

      Código 
                              
                      #opción para presentación de números con decimales o exponenciales
options(scipen = 999, digits = 2)
#creamos unos vectores
ventas <- 0:10
#Obtenemos las densidades
densidad <- dpois(x = ventas, lambda = 3)
#Obtenemos el CDF 
prob <- ppois(q = ventas, lambda = 3, lower.tail = TRUE)

#pasamos los datos a dataframe
df <- data.frame(ventas, densidad, prob)
#Visualizamos
ggplot(df, aes(x = factor(ventas), y = densidad, fill="PDF")) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(densidad,2), y = densidad + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "PDF y CDF de Poisson ",
       x = "Ventas (x)",
       y = "Densidad") +
  geom_line(data = df, aes(x = ventas, y = prob) , color="blue")
#Comparemos con el gráfico 
dpois( 1, lambda = 3) # da la probabilidad exacta de 1 venta
[1] 0.15
dpois( 4, lambda = 3) # da la probabilidad exacta de 4 ventas
[1] 0.17
ppois(4, lambda=3 , lower.tail=TRUE) #da la probabilidad de 4 ventas o menos
[1] 0.82
ppois(4, lambda=3 , lower.tail=FALSE)# da la probabilidad de mas de 4 ventas
[1] 0.18

      Y obtenemos el siguiente gráfico

      Nombre_de_la_figura

      Figura 7: PMF Y CDF en Distribución Poisson
      Creación de autor Alfonso Prado

      Función qpois

      Como ya sabemos estas funciones q lo que nos indican es el inverso de las probabilidades, es decir, dado un vector p de probabilidades, encontrar los cuantiles debajo de los cuales se acumula las probabilidades p.

      Por ejemplo:

      Nombre_de_la_figura
      Profundiza más

      Este recurso te presenta casos de distribución Poisson ¡Accede aquí!

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    • Estimación de intervalos de confianza

    • Introducción

      El análisis estadístico en investigaciones se basa en la idea clave de que hacemos observaciones sobre una muestra de sujetos y luego extraemos inferencias sobre la población de todos esos sujetos de los que se extrae la muestra. Si la muestra del estudio no es representativa de la población, es muy posible que obtengamos resultados incorrectos.

      En la presente clase, veremos cómo obtener los estadísticos que describen a la población, tomando en cuenta la variación aleatoria en la muestra. Esto se debe a que los resultados de una sola muestra estarán sujetos a incertidumbre estadística, que está estrechamente relacionada con el tamaño de la muestra.

    • La inferencia estadística es el conjunto de métodos y técnicas que permiten inducir, a partir de la información empírica proporcionada por una muestra, cuál es el comportamiento de una determinada población con un riesgo de error medible en términos de probabilidad.

      Los métodos paramétricos de la inferencia estadística se pueden dividir básicamente en dos:

      • Métodos de estimación de parámetros
      • Métodos de contraste de hipótesis

      Ambos métodos se basan en el conocimiento teórico de la distribución de probabilidad del estadístico muestral que se utiliza como estimador de un parámetro. (http://www.ub.edu/)

      La inferencia nos permitirá trazar una línea lógica de causa-efecto, entre los diferentes puntos inferidos en la resolución del problema. (https://dle.rae.es/inferencia)

      ¿Qué es la estimación puntual?

      La estimación puntual es un valor único que describe mejor la población de interés, siendo la media de la muestra y la proporción de la muestra los más comunes.

      ¿Qué es un intervalo de confianza?

      Existen muchas definiciones, de las cuales extraemos las más relevantes:

      • Una estimación de intervalo combinada con una declaración de probabilidad.
      • Estimación de intervalo calculada a partir de estadísticas de los datos observados, que pueden contener el valor verdadero de un parámetro de población desconocido. El intervalo tiene un nivel de confianza asociado que califica el nivel de confianza de que un parámetro se encuentra en el intervalo.
      • Un rango de valores tan definido que existe una probabilidad específica de que el valor del parámetro se encuentre dentro de él.

      De lo anterior podemos extraer las siguientes conclusiones: Es un intervalo de valores, es decir, este intervalo se encuentra entre un valor a y b. Dentro de este intervalo creemos que se encuentra una media poblacional de la variable bajo análisis. Y aunque no sabemos exactamente en qué parte de este intervalo, podemos asegurar que existe una probabilidad concreta de que esto sea correcto.

      Intervalos de confianza y nivel de significancia

      Cuando usamos métodos paramétricos, la probabilidad se calcula en base a una distribución gaussiana o normal y sabemos que una muestra dada tendrá una media que se halla dentro de un nivel de significancia definido con la probabilidad de un error (el valor α).

      Para el intervalo de confianza del 95 por ciento, el 95 por ciento de todos los intervalos contendrá la media de la población. El 5 por ciento restante podrían caer fuera del intervalo por temas de azar (muestra 5 en la figura 1).

      Nombre_de_la_figura

      Figura 1: Múltiples muestras y la media poblacional

      Notamos que el 5 por ciento de los intervalos no contendrá la media de la población. Estos caen en lo que denomina valor alfa (α), el nivel de significancia α representa las colas de la distribución y como la curva es simétrica, tendremos α/2 a cada lado.

      Nombre_de_la_figura

      Distribución normal y tamaño de colas
      Creación de autor: Alfonso Prado

      Los niveles de confianza α están relacionados con los valores Z, como se explica en la siguiente tabla:

      Nombre_de_la_figura

      Tabla 1: Relación ente valores Z y α

      Por otro lado, es importante entender la relación entre el valor Z y la precisión. Como habíamos visto en clases anteriores, mientras más alto es el valor de Z, el intervalo se hará más grande, pero la precisión de nuestra inferencia será inferior.

      Veamos un ejemplo: tenemos una población de personas. Esta población tiene un parámetro, vamos a decir la edad. Tenemos un rango de edades de interés, digamos de 8.7 a 10.6 años. Como ya hemos visto en la distribución, si yo muestreo, tengo una probabilidad de que aparezcan sujetos con ciertas edades, a partir de lo cual se puede establecer el intervalo. Si yo defino este intervalo de 0 a 100 años, tengo gran amplitud, pero no tengo precisión; si tengo poca amplitud, tengo más precisión. La amplitud estará dada por los valores Z, como se puede ver en la tabla 1.

      Nombre_de_la_figura

      Figura 3: Media muestral e intervalo
      Creación de autor Alfonso Prado

      Entonces definimos el intervalo de confianza para media (µ) con una confianza de (1-α) al intervalo (8.7 a 10.6 años) obtenido para una realización muestral dada , tal que: P(8.7≤ µ≤10.6)=1- α.

      El grado de confianza más habitual que se presenta es del 95%, pero no existe estandarización al respecto, y depende del estudio que se esté realizando.

      Por tanto, un único estudio suele dar una estimación muestral imprecisa del valor total de la población en la que estamos interesados. Esta imprecisión se indica mediante la amplitud del intervalo de confianza: cuanto más amplio sea el intervalo, menor será la precisión. La amplitud depende esencialmente de tres factores:

      • En primer lugar, el tamaño de la muestra: los tamaños de muestra más grandes darán resultados más precisos con intervalos de confianza más estrechos. En particular, los intervalos de confianza amplios enfatizan la falta de fiabilidad de las conclusiones basadas en muestras pequeñas.
      • En segundo lugar, la variabilidad de la característica que se estudia: cuanto menos variable sea (entre sujetos, dentro de los sujetos, a partir del error de medición y de otras fuentes), más precisa será la estimación muestral y más estrecho el intervalo de confianza.
      • En tercer lugar, el grado de confianza requerido: cuanto mayor sea la confianza, más amplio será el intervalo.

      Intervalo de confianza clásico

      Se basa en la distribución y se forma utilizando la media muestral como una estimación puntual, a la cual se adiciona y se resta un cierto valor para obtener los límites superior e inferior del intervalo de confianza, respectivamente.

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      Figura 5: Fórmula Intervalo de Confianza de la media poblacional

      μ
      media poblacional
      σ
      desviación poblacional
      Z
      Nivel de confianza requerido (ver tabla 1)
      SEM
      Error estándar de la media
      X̅
      media muestral
      N
      número de observaciones

      Muchas veces nos topamos con el problema de comparar dos medias poblacionales. Esto puede darse porque, ya sea tengamos dos muestras de la misma población y queramos saber si existen diferencias, pero más comúnmente es porque estamos tratando de encontrar diferencias entre variables que han sido sometidas a cierto tratamiento. En un experimento científico típico, nos interesan dos poblaciones (Casos y Control) y si existe una diferencia entre sus medias (µCasos - µControl). La siguiente figura clarifica este concepto.

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      Figura 6: Diferencias en la distribución Casos vs. Control

      Vale la pena recordar las siguiente fórmulas: aquí tenemos dos casos, que las varianzas sean iguales entre las dos muestras y que las varianzas sean diferentes.

      Si las varianzas son iguales vamos a calcular una varianza ponderada en donde los pesos son los grados de libertad (n — 1) para cada muestra. Esta estimación ponderada se muestra en la siguiente figura:

      Nombre_de_la_figura

      Figura 7: Varianzas ponderadas

      El intervalo de confianza para la diferencia entre las dos medias poblacionales se halla entonces con una distribución t con grados de libertad n1 + n2 - 2.

      Aprende más

      Para conocer más sobre Varianzas Ponderadas, puedes leer el siguiente artículo ¡Accede aquí!

      Nombre_de_la_figura

      Figura 8: Intervalo de confianza para la diferencia entre medias poblacionales cuando las varianzas σ1 = σ2

      Por otro lado, cuando las varianzas son diferentes se puede aproximar los grados de libertad según la siguiente figura:

      Nombre_de_la_figura

      Figura 9: Grados de libertad ponderados cuando σ1 ≠ σ2

      Y el intervalo de confianza para la diferencia entre medias poblacionales se calcularía de acuerdo con la siguiente figura:

      Nombre_de_la_figura

      Figuar 10: Intervalo de confianza para la diferencia entre medias

      Veamos un ejemplo con el dataset Traffic

      Código 
                              
                        #Cargamos la data
data <- traffic %>% filter(local_authority_id == 145)
data$pesados <- data$all_motor_vehicles -data$cars_and_taxis
data$pesados <- data$pesados/(365*24)
#Cálculo media,desviación y grados de libertad
n <- NROW(data)
gl <- n-1
xmedio <- mean(data$pesados)
desv <- sd(data$pesados) 
#Calculando el intervalo de confianza para 2 colas 
alfa=0.05
tstat_2lados <- qt(0.95 + alfa/2, df=gl )
ic_alto= xmedio + tstat_2lados* desv/sqrt(n)
ic_alto
ic_bajo= xmedio - tstat_2lados* desv/sqrt(n)
ic_bajo
#Intervalo de confianza de 1 solo lado
#por ejemplo, queremos validar si el tráfico no excede de cierto valor
tstat_lado_izquierdo <- qt(0.95 , df=gl )
ic_alto= xmedio + tstat_lado_izquierdo* desv/sqrt(n)
ic_bajo= xmedio - tstat_lado_izquierdo* desv/sqrt(n)
ic_bajo

      Sin embargo, de lo mencionado, muchas veces es complicado realizar muestreos con gran cantidad de observaciones o repetir muestreos de la misma población. Aquí entra la técnica de “Bootstrap” o intervalos de confianza basados en “Bootstrap”.

      Remuestreo mediante Bootstrap

      Es un procedimiento de remuestreo que se puede utilizar para estimar la distribución de muestreo de casi cualquier estadístico, como la media, la mediana y los coeficientes de regresión. Estos estadísticos toman un nombre genérico: θ.

      Una muestra bootstrap es una muestra de los datos con reemplazo; esto quiere decir que, cuando se realiza un remuestreo, el hecho de haber seleccionado un valor no impide que el mismo valor sea seleccionado en otro remuestreo.

      En comparación con los intervalos de confianza clásicos basados en ecuaciones, un intervalo de confianza Bootstrap no asume ninguna distribución específica. En cambio, supone que la distribución observada en la muestra es una buena representación de la distribución de la población de la que se tomó la muestra. Por lo tanto, los intervalos de confianza Bootstrap se pueden utilizar como una alternativa si no cumplimos con los supuestos detrás de los intervalos de confianza clásicos o si no hay una ecuación para calcular dichos intervalos.

      Bootstrap funciona de la siguiente forma: suponga que tenemos una muestra de 10 observaciones. Bootstrap procede a realizar el primer remuestreo mediante la selección de 10 observaciones aleatorias. Como resultado de este remuestreo, es posible que algunos valores se repitan, así como otros valores de la muestra original podrían no aparecer. Sobre esta muestra se procede a realizar el cálculo del estadístico requerido (media, desviación, etc.).

      Por supuesto, la media de esta segunda muestra no tiene por qué coincidir con la media poblacional. Entonces, Bootstrap procede a hacer muestras adicionales, por ejemplo, 1000 muestras. Mientras mayor sea la cantidad de remuestreos realizados, más nos aproximaremos a la media poblacional.

      La siguiente figura explica el concepto:

      Nombre_de_la_figura

      Figura 11: Proceso de remuestreo

      Luego sorteamos los valores θ1, θ2, θ3, ..., θM, y ubicamos los valores de los percentiles 2.5% y 97.5%, es decir, los cuantiles correspondientes al 5% y 95%.

      Con esto, habremos obtenido el intervalo de confianza para la media poblacional.

      Es importante entender que, dado que se basa en el remuestreo, la técnica de Bootstrap no es adecuada para muestras pequeñas.

      ¿Como podemos estar seguros de que el valor obtenido es el correcto?

      Recuerde el teorema del límite central, que indica que, cuando la cantidad de observaciones es alta, la media muestral se aproximará a la media poblacional. En este caso, mediante bootstrap, estamos generando una cantidad alta de remuestreos.

      Aprende más

      Para conocer más sobre Bootstraping en investigación científica, puedes leer el siguiente artículo ¡Accede aquí!

      De la figura 5, notamos que esta fórmula incluye el estadístico de σ (desviación poblacional); sin embargo, el problema es que esta no siempre se conoce.

      En este caso, volvemos a recurrir al teorema del límite central, sustituyendo el σ poblacional por σx (algunos autores lo llaman Sx), el cual se define como:

      σx = s / √n

      Por otro lado, el valor Z debe ser sustituido por el valor t, para muestras pequeñas tomando en cuenta el nivel de confianza y los aplicables en cada caso.

      Veamos un ejemplo:

      Código 
                              
                        #Una empresa de construcción está interesada en comprar un bosque para explotacion de la madera. Tiene 2 opciones , para el primero  se hace una muestral con 10 árboles, estimando que  produce  69.5 p.t (Un pie tablar es 1 pie de largo x 1 pie de ancho x 1 pulgada de grueso) con una desviación de 2.2 pt, en el segundo se hace una muestra de 15 árboles y se obtiene una media de 72.2 on una desviación de 4.5.
#Con un intervalo de confianza del 95% queremos estimar si hay diferencias entre los dos bosques.
#En ese caso lo que están pidiendo es el IC para la diferencia en las medias poblacionales

xm1 <- 69.5
n1<- 10
sd1 <- 2.2

n2<- 15
xm2 <- 72.2
sd2 <- 4.5

#Dado que las desviaciones son diferentes calculamos los gl ponderados 
gl <- ((sd1^2/n1 + sd2^2/n2)^2)  /(   (sd1^2/(n1))^2/(n1-1)  + (sd2^2/(n2))^2/(n2-1) )
gl <- round(gl,0)

tprima <- qt(.95,gl)
IC_medias_alto <- (xm1-xm2) + tprima* sqrt(sd1^2/n1 + sd2^2/n2)
[1] -0.37
IC_medias_bajo <- (xm1-xm2) - tprima* sqrt(sd1^2/n1 + sd2^2/n2)
[1] -5
#A un 95% de confianza podemos establecer que el bosque 1 tiene un producción inferior

      El tamaño de la muestra juega un papel importante al determinar la probabilidad de error, así como en la precisión de la estimación. Una vez que se ha seleccionado el nivel de confianza, dos factores importantes influyen en el tamaño muestral:

      • La varianza de la población (σx2)
      • El tamaño del error tolerable que el investigador está dispuesto a aceptar

      Mientras que el primer factor está más allá del control del investigador (no hay nada que se pueda hacer sobre la varianza de la población), sin embargo, sí es posible limitar el tamaño del error.

      Podemos determinar el tamaño n de una muestra aleatoria que conduce a un error estándar de la media menor que un valor q deseado, suponiendo que conocemos la varianza (σx2).

      Sabemos que:

      • σx = σ / √n

      Por lo tanto, requerimos que:

      • σx / √n < q

      De ahí, despejamos:

      • n > (σx / q)2

      Lo anterior puede reescribirse, de la siguiente forma:

      Nombre_de_la_figura

      Figura 12: Tamaño de la muestra requerido para un error dado

      Ejemplo:

      Código 
                              
                      #Uno de los problemas que tienen los grandes hoteles en el mundo es estimar
#la cantidad de habitaciones no utilizadas. Para esto deciden hacer una #encuesta por noche para ver cuantas habitaciones están libres, obviamente #la cantidad de habitaciones es muy grande, por lo que necesitan estimar el #tamaño de la muestra. El hotel piensa que puede aceptar un error de 50 #habitaciones. Se ha determinado que la desviación entre hoteles es de 165 #habitaciones. ¿Cuál es el tamaño de la muestra?
muestra <- function(err){
Z=qnorm(0.005)
Z
s=165
#aplicamos la fórmula de la figura 12
n<- (z^2)*(s^2)/err^2
n
}
muestra(50)
[1] 72.254

#Podemos hacer el siguiente gráfico para entender esta relación
df <- data.frame(n=NULL, err=NULL)
for (e in seq(from=10 , to=100 , by=1))
{
    dfline<- data.frame(n=muestra(e),err=e )
  df <- rbind(df, dfline)
}
#View(df)

ggplot(data=df, aes(x=n, y=err)) + geom_line()+
    ggtitle("Error vs cantidad de muestras")

#Notamos que en la medida que n crece la diferencia entre media muestral y poblacional disminuye
      Nombre_de_la_figura

      Figura 13: Relación entre el error (X̅̅ - μ ) y la cantidad de muestras
      Creación de autor Alfonso Prado

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