¿En qué se parecen una red de amigos, un árbol genealógico y la jerarquía de usuarios en un sistema? En todos los casos, existe algún tipo de relación entre elementos: personas que se conocen, individuos que descienden unos de otros o usuarios con distintos niveles de acceso. Pero no todas las relaciones se comportan igual: algunas son mutuas, otras no; algunas permiten volver sobre los pasos, mientras que otras implican una dirección fija. Comprender las propiedades que puede tener una relación nos permite clasificarlas, interpretarlas y usarlas con fines específicos.

En esta clase analizaremos tres propiedades fundamentales: reflexividad, simetría y transitividad. Estas propiedades no solo nos permiten caracterizar las relaciones, sino también identificar estructuras importantes como las relaciones de equivalencia o las relaciones de orden. Empezaremos con ejemplos cotidianos, los formalizaremos matemáticamente y aprenderemos a reconocer estas propiedades en diferentes contextos, ya sea en forma de listas de pares ordenados, representaciones gráficas o matrices.

Ejemplo 1. Considere el conjunto A={"Ana","Luis","Carlos"}. Veamos tres relaciones posibles sobre este conjunto y algunas propiedades que pueden cumplir:

• Relación de amistad R_1: si Ana es amiga de Luis, entonces Luis es amigo de Ana. Es decir, ("Ana", "Luis") ∈ R_1 implica ("Luis", "Ana") ∈ R_1.
• Relación de vivir en la misma ciudad R_2: Ana vive en la misma ciudad que Ana (ella misma). Es decir, ("Ana", "Ana") ∈ R_2.
• Relación de jerarquía R_3: en una organización, si Ana supervisa a Luis y Luis supervisa a Carlos, entonces Ana supervisa a Carlos. Es decir, si ("Ana", "Luis") ∈ R_3 y ("Luis", "Carlos") ∈ R_3, entonces ("Ana", "Carlos") ∈ R_3.

A lo largo de esta sección, estudiaremos cómo formalizar e identificar estas propiedades, qué combinaciones dan lugar a relaciones especiales como las de equivalencia y orden.

Piensa en la idea de que algo está «relacionado consigo mismo». Por ejemplo, una persona siempre mide lo mismo que ella misma, o un número es siempre igual a sí mismo. Esta es la esencia de una relación reflexiva: todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo (Johnsonbaugh 2018).

Definición 1: Relación reflexiva.

Sea R una relación sobre un conjunto A. Se dice que R es reflexiva si para cada elemento x en A, el par ordenado (x,x) pertenece a R. Es decir, para todo x∈A, xRx.

En otras palabras, una relación es reflexiva si y solo si cada elemento del conjunto se relaciona consigo mismo

Ejemplo 2. Considera el conjunto de personas A={"Ana","Luis","Carlos"}. La relación «vivir en la misma ciudad que» es reflexiva, ya que Ana vive en la misma ciudad que Ana, Luis en la misma que Luis, y Carlos en la misma que Carlos. Por lo tanto, los pares ("Ana" ,"Ana" ), ("Luis" ,"Luis" ) y ("Carlos" ,"Carlos" ) deben estar en la relación.

Si R es una relación sobre un conjunto finito A, podemos analizar si es reflexiva observando su representación matricial. La relación R es reflexiva si y solo si todos los elementos de la diagonal principal de su matriz de representación M_R son iguales a 1. Esto se debe a que la diagonal principal de la matriz corresponde a los pares (x_i,x_i ), que son los pares de identidad que definen la reflexividad.

Ejemplo 3. Sea el conjunto A={a,b,c} y la relación

\[ R = \{ (a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c) \} \]

La matriz de representación de R es:

\[ M_R = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Como todos los elementos de la diagonal principal son 1, la relación R es reflexiva.

En lo que respecta a la representación digráfica, una relación R sobre un conjunto A es reflexiva si y solo si en su digrafo asociado, cada vértice tiene un bucle (una arista que va del vértice a sí mismo).

Ejemplo 4. Considera el conjunto y la relación del ejemplo anterior. La representación digráfica la observamos en la siguiente figura.

Como todos los vértices tienen un bucle, concluimos, nuevamente, que la relación es reflexiva.

Ejemplo 5. Sea T una relación sobre los números enteros Z definida como «m es menor o igual a n», es decir, m≤n. Esta relación es reflexiva, ya que cualquier entero m, cumple que m≤m. Por lo tanto, el par (m,m) siempre pertenece a T para todo m∈Z.

Ejemplo 6. Consideremos la relación de congruencia módulo 3 sobre los enteros. Es decir, sea T una relación sobre Z definida como sigue: (m,n)∈T⇔3∣(m-n). Esto significa que dos números están relacionados si su diferencia es divisible por 3. Por ejemplo, (4,4)∈T, ya que 4-4=0 y 3∣0. En general, cualquier número es congruente consigo mismo módulo 3, pues m-m=0 para todo m∈Z. Por lo tanto, T es una relación reflexiva.

Algunas relaciones son recíprocas: si Ana es hermana de Luis, entonces Luis también es hermano de Ana. Otras no lo son: si Ana es madre de Luis, no se deduce que Luis sea madre de Ana. A esta idea de reciprocidad se la llama simetría regla de tres compuesta(Johnsonbaugh 2018).

Definición 2: Relación simétrica

Sea R una relación sobre un conjunto A. Se dice que R es simétrica si, para todo x,y∈A, se tiene que xRy implica yRx.

Una forma algebraica de caracterizar la simetría en relaciones finitas es a través de matrices. Si R es una relación sobre un conjunto finito A, entonces R es simétrica si y solo si su matriz de representación M_R es igual a su traspuesta. Es decir:

\[ R = R^{-1} \iff M_R = M_R^{\!\top} \]

Esto quiere decir que la matriz de una relación simétrica es también una matriz simétrica.

Ejemplo 7. Sea A={a,b,c} y consideremos la relación

\[ R = \{ (a,b), (b,a), (b,c), (c,b), (b,b) \} \]

La matriz de R es:

\[ M_R = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Como esta matriz es simétrica, concluimos que la relación R es simétrica.

En la representación digráfica, una relación es simétrica si cada flecha (x,y) tiene una flecha en sentido contrario (y,x). Lo podemos corroborar en la representación digrafica de la relación del ejemplo anterior:

No todas las relaciones recíprocas lo son en sentido estricto. A veces, si x se relaciona con y y y con x, esto solo puede suceder si x=y. A este comportamiento se lo conoce como antisimetría.

Definición 3: Relación antisimétrica.

Sea R una relación sobre un conjunto A. Se dice que R es antisimétrica si, para todo x,y∈A, se cumple que si xRy y yRx, entonces x=y.

Por ejemplo, la relación «menor o igual» (≤) es antisimétrica: si a≤b y b≤a, entonces necesariamente a=b.

Por otro lado, algunas relaciones permiten conectar elementos mediante pasos intermedios. Por ejemplo, si Ana es jefa de Luis, y Luis es jefe de Carla, entonces Ana es jefa de Carla de forma indirecta. Esta es la idea detrás de la transitividad (Johnsonbaugh 2018).

Definición 4: Relación transitiva.

Sea R una relación sobre un conjunto A. Se dice que R es transitiva si, para todo x,y,z∈A, se tiene que xRy y yRz implica xRz.

En otras palabras, si un elemento se relaciona con otro, y ese otro con un tercero, entonces el primero debe estar relacionado con el tercero.

Formalmente, se cumple que:

R" es transitiva"⇔R^2⊆R.

Ejemplo 8. Sea A={1,2,3} y

\[ R = \{ (1,2), (2,3), (1,3) \} \]

Como (1,2)∈R y (2,3)∈R implica (1,3)∈R, entonces la relación es transitiva.

Ejemplo 9. La relación «es mayor que» sobre los enteros es transitiva: si a>b y b>c, entonces a>c.

Ejemplo 10. La relación «ser descendiente de» también es transitiva: si Ana es descendiente de Luis, y Luis es descendiente de Carla, entonces Ana es descendiente de Carla, lo cual indica una relación transitiva.

Ejemplo 11. Consideremos la relación de la figura anterior. Observamos que (a,b)∈R y (b,c)∈R, pero (a,c)∉R, por lo que la relación no es transitiva. En el grafo dirigido de esta relación hay flechas de a a b y de b a c, pero no hay una flecha de a a c, lo cual rompe la cadena de transitividad.

Cerradura de una relación

A veces, una relación dada no cumple ciertas propiedades, pero queremos construir la relación más pequeña que la contenga y sí tenga esa propiedad. A este proceso se lo llama cerradura.

• \[ R \cup \Delta_A \text{ es la cerradura reflexiva de } R, \text{ es decir, la relación reflexiva más pequeña que contiene a } R. \]
• \[ R \cup R^{-1} \text{ es la cerradura simétrica de } R. \]

Ejemplo 12. Sea A={1,2,3} y la relación

\[ R = \{ (1,2), (2,1) \} \]

Cerradura reflexiva: Para que R sea reflexiva, debe contener todos los pares de la forma (x,x) para x∈A. La cerradura reflexiva de R se obtiene agregando los pares:

\[ \{ (1,1), (2,2), (3,3) \} \]

Por tanto, la cerradura reflexiva es:

\[ R_{\text{reflexiva}} = \{ (1,2), (2,1), (1,1), (2,2), (3,3) \} \]

Ejemplo 13. Sea A={1,2,3} y la relación

\[ R = \{ (1,2), (2,3) \} \]

Cerradura simétrica: Para que R sea simétrica, debe contener el par inverso de cada elemento. En este caso, (2,1) y (3,2) no están en R, por lo tanto los agregamos.

La cerradura simétrica es:

\[ R_{\text{simétrica}} = \{ (1,2), (2,3), (2,1), (3,2) \} \]

Para la transitividad, se define de la siguiente manera (Epp 2020):

Definición 5: Cerradura transitiva.

Sea R una relación sobre un conjunto A. La cerradura transitiva de R, denotada R^t, es la relación sobre A que cumple:

1. \[ R^t \text{ es transitiva.} \]
2. \[ R \subseteq R^t. \]
3. \[ \text{Si } S \text{ es cualquier relación transitiva tal que } R \subseteq S, \text{ entonces } R^t \subseteq S. \]

Ejemplo 14. Sea A={0,1,2,3} y R={(0,1),(1,2),(2,3)}.

• \[ \text{Como } (0,1) \in R \text{ y } (1,2) \in R, \text{ entonces } (0,2) \in R^t. \]
• \[ \text{Como } (0,2) \in R^t \text{ y } (2,3) \in R, \text{ entonces } (0,3) \in R^t. \]
• \[ \text{Como } (1,2) \in R \text{ y } (2,3) \in R, \text{ entonces } (1,3) \in R^t. \]

Por tanto, la cerradura transitiva de R es:

\[ R^t = \{ (0,1), (1,2), (2,3), (0,2), (1,3), (0,3) \} \]

Las relaciones no solo sirven para establecer conexiones entre elementos, sino también para organizarlos. Piensa en cómo se puede ordenar una lista de tareas por prioridad, los archivos en una carpeta por fecha o los números del 1 al 10 por su tamaño. Estas formas de organizar datos se basan en relaciones con propiedades especiales. En esta sección exploraremos las llamadas relaciones de orden.

Una relación que permite ordenar los elementos de un conjunto debe cumplir tres propiedades fundamentales: ser reflexiva, antisimétrica y transitiva (Johnsonbaugh 2018).

Definición 6: Relación de orden parcial.

Sea R una relación sobre un conjunto A. Se dice que R es un orden parcial si cumple las siguientes propiedades:

• \[ \text{Reflexiva: Para todo } x \in A, \ (x,x) \in R. \]
• \[ \text{Antisimétrica: Si } (x,y) \in R \text{ y } (y,x) \in R, \text{ entonces } x = y. \]
• \[ \text{Transitiva: Si } (x,y) \in R \text{ y } (y,z) \in R, \text{ entonces } (x,z) \in R. \]

Un ejemplo clásico de orden parcial es la relación «menor o igual que» en los números enteros. Si definimos:

\[ R = \{ (x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : x \le y \} \]

entonces R es reflexiva (todo número es menor o igual a sí mismo), antisimétrica (si x≤y y y≤x, entonces x=y) y transitiva (si x≤y y y≤z, entonces x≤z). Por tanto, es una relación de orden.

A veces, no todos los elementos pueden compararse. Si en una relación de orden parcial hay elementos x,y∈A tales que ni (x,y)∈R ni (y,x)∈R, se dice que x y y son incomparables. Si todos los elementos se pueden comparar, se dice que es un orden total.

Ejemplo 15. Sea A={1,2,3} con la relación

\[ R = \{ (1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3) \} \]

donde xRy significa «x≤y».

En este caso, todo par de elementos es comparable: por ejemplo, 1 y 2 son comparables porque (1,2)∈R, y 2 y 1 también son comparables, ya que podemos deducir de la relación total cuál de los dos es menor. Esto ocurre para todos los pares. Por tanto, esta es una relación de orden total.

Ejemplo 16. Sea B={{a},{b},{a,b}} con la relación ⊆ (inclusión de conjuntos). Esta relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva, por lo que es un orden parcial.

Sin embargo, no todos los elementos son comparables: por ejemplo, {a} y {b} no son subconjuntos uno del otro, por lo tanto, son incomparables.

Para representar gráficamente un conjunto con una relación de orden parcial se utiliza el diagrama de Hasse. Esta representación elimina información redundante: no se dibujan los lazos (reflexividad), no se indican las flechas (la orientación se asume de abajo hacia arriba), y se omiten las relaciones implícitas por transitividad (Diagrama de Hasse, n.d.).

Ejemplo 17. Sea A={a,b,c}. Consideremos la relación de inclusión ⊆ entre los elementos de P(A). Esta relación es un orden parcial. El diagrama de Hasse correspondiente es el siguiente:

Desde etapas tempranas de tu formación matemática, aprendiste que algunas expresiones distintas pueden representar el mismo valor. Por ejemplo (Johnsonbaugh 2018), al trabajar con fracciones, sabes que

\[ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{-3}{-6} = \frac{15}{30} = \cdots \]

son todas formas distintas de expresar la misma cantidad. Aunque se ven diferentes, todas representan el mismo número racional: un medio.

Este fenómeno de «diferentes formas para un mismo objeto» es una pista del concepto más profundo que exploraremos en esta clase: las relaciones de equivalencia. Estas relaciones nos permiten agrupar elementos que, aunque no idénticos a simple vista, comparten alguna propiedad en común que los caracteriza. Así, podemos clasificar o agrupar elementos que «en cierto sentido, son lo mismo», lo cual es una herramienta poderosa tanto en la matemática pura como en muchas aplicaciones prácticas de la informática, la lógica y la ciberseguridad.

Al estudiar relaciones, observamos que algunas poseen propiedades especiales que las hacen particularmente útiles para clasificar y organizar conjuntos. Las relaciones de equivalencia son un ejemplo fundamental de este tipo (Epp 2020).

Definición 1: Relación de equivalencia.

Sea R una relación sobre un conjunto A. Decimos que R es una relación de equivalencia si cumple las siguientes tres propiedades:

• \[ \text{Reflexiva: Para todo } x \in A, \ xRx. \]
• \[ \text{Simétrica: Si } xRy, \text{ entonces } yRx. \]
• \[ \text{Transitiva: Si } xRy \text{ y } yRz, \text{ entonces } xRz. \]

En este caso, escribimos x∼_R y para denotar que x es equivalente a y bajo la relación R. Si no hay ambigüedad, simplemente escribimos x∼y.

Ejemplo 1. Mismo (primer) apellido. Sea A el conjunto de todas las personas en una base de datos. Definimos x∼y si x y y tienen el mismo apellido. Esta relación es:

• Reflexiva: toda persona tiene el mismo apellido que sí misma.
• Simétrica: si x tiene el mismo apellido que y, entonces y tiene el mismo apellido que x.
• Transitiva: si x y y tienen el mismo apellido, y y y z también, entonces x y z también lo tienen.

Ejemplo 2. Congruencia módulo n. Sea Z el conjunto de los enteros. Definimos una relación ∼ sobre Z como:

a∼b "si y solo si " a≡b (mod n),

es decir, si n∣(a-b). Esta relación es una relación de equivalencia, pues cumple:

• Reflexiva: Para todo a∈Z, se cumple que a-a=0, y n∣0, por lo tanto a∼a.
• Simétrica: Si a∼b, entonces n∣(a-b), lo que implica que también n∣(b-a), por lo tanto b∼a.
• Transitiva: Si a∼b y b∼c, entonces n∣(a-b) y n∣(b-c). Al sumar estas dos igualdades, se obtiene n∣(a-c), por lo tanto a∼c.

Por ejemplo, si n=5, entonces 12∼2 porque 12-2=10, y 10 es divisible por 5.

Ejemplo 3. Funciones hash. Sea S el conjunto de todas las cadenas de texto y f una función hash que mapea cada cadena a un valor entero. Definimos una relación ∼ tal que, para s,t∈S,

s∼t "si y solo si " f(s)=f(t).

Esta relación es:

• Reflexiva: Para cualquier cadena s, se cumple que f(s)=f(s).
• Simétrica: Si f(s)=f(t), entonces f(t)=f(s).
• Transitiva: Si f(s)=f(t) y f(t)=f(u), entonces f(s)=f(u).

Un ejemplo simple de una función hash podría ser una que devuelve la longitud de una cadena. En este caso, «hola» y «casa» son equivalentes, ya que "longitud(«hola»)"=4 y "longitud(«casa»)"=4.

Ejemplo 4. Identificadores con prefijo igual. Sea L el conjunto de todos los identificadores válidos en un lenguaje de programación. Definimos una relación ∼ sobre L tal que, para s,t∈L,

s∼t "si y solo si los primeros ocho caracteres de " s" y " t" son iguales."

Esta relación también es una relación de equivalencia, ya que cumple:

• Reflexiva: Cualquier identificador tiene los primeros ocho caracteres iguales a sí mismo.
• Simétrica: Si los primeros ocho caracteres de s y t son iguales, entonces los de t y s también lo son.
• Transitiva: Si s y t tienen los primeros ocho caracteres iguales, y t y u también, entonces s y u los tienen iguales.

Este tipo de relación se puede usar, por ejemplo, para detectar conflictos entre identificadores en ciertos compiladores antiguos que solo consideran los primeros ocho caracteres como significativos.

Una vez que hemos definido una relación de equivalencia, surge naturalmente la idea de agrupar todos los elementos que son equivalentes entre sí. Este conjunto recibe el nombre de clase de equivalencia (Epp 2020).

Definición 2: Clase de equivalencia.

Sea ∼ una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cada x∈A, la clase de equivalencia de x se define como:

\[ [x] = \{ y \in A \mid x \sim y \} \]

La clase de equivalencia [x] contiene todos los elementos del conjunto que son equivalentes a x. Es decir, todos los elementos que están «relacionados» con x según la relación definida. Una propiedad de las relaciones de equivalencia es que los elementos equivalentes tienen la misma clase:

\[ x \sim y \iff [x] = [y] \]

Y, en consecuencia, las clases de equivalencia o son iguales, o son completamente disjuntas:

\[ [x] = [y] \quad \text{o} \quad [x] \cap [y] = \varnothing \]

Ejemplo 5. Clases de equivalencia a partir de una relación dada por pares ordenados. Sea A={0,1,2,3,4} y definamos la relación R sobre A mediante el conjunto de pares:

\[ R = \{ (0,0), (0,4), (1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,3), (4,0), (4,4) \} \]

Se puede verificar que esta relación es reflexiva, simétrica y transitiva, por lo tanto, una relación de equivalencia.

Determinamos las clases de equivalencia calculando los elementos relacionados con cada uno:

\[ \begin{cases} [0] = \{ x \in A : xR0 \} = \{ 0,4 \}, \\ [1] = \{ x \in A : xR1 \} = \{ 1,3 \}, \\ [2] = \{ x \in A : xR2 \} = \{ 2 \}, \\ [3] = \{ x \in A : xR3 \} = \{ 1,3 \}, \\ [4] = \{ x \in A : xR4 \} = \{ 0,4 \}. \end{cases} \]

Por lo tanto, las clases de equivalencia distintas inducidas por R son:

\[ \{ \{0,4\}, \{1,3\}, \{2\} \} \]

Ejemplo 6. Clases de equivalencia de proposiciones lógicas. Sea S el conjunto de todas las proposiciones construidas a partir de un número finito de letras proposicionales. Definimos una relación ∼ tal que P∼Q si y solo si P y Q son lógicamente equivalentes, es decir, tienen la misma tabla de verdad. Esta es una relación de equivalencia.

Dado, las proposiciones p→q y ¬p∨q son equivalentes, se tiene que

\[ [p \to q] = \{ p \to q, \; \neg p \vee q, \; \dots \} \]

De este modo, cada clase de equivalencia contiene todas las proposiciones que son lógicamente equivalentes entre sí.

Ejemplo 7. Congruencia módulo 5. Sea Z el conjunto de los enteros y definamos la relación ∼ por:

a∼b "si y solo si" a≡b (mod 5).

Esta relación es de equivalencia, como se ha demostrado previamente, y permite agrupar los enteros según su residuo al dividirlos por 5.

Cada clase de equivalencia está compuesta por todos los enteros que dejan el mismo residuo al dividirse por 5. Por tanto, las clases de equivalencia distintas son:

\[ \begin{cases} [0] = \{\dots,-10,-5,0,5,10,\dots\}, \\ [1] = \{\dots,-9,-4,1,6,11,\dots\}, \\ [2] = \{\dots,-8,-3,2,7,12,\dots\}, \\ [3] = \{\dots,-7,-2,3,8,13,\dots\}, \\ [4] = \{\dots,-6,-1,4,9,14,\dots\}. \end{cases} \]

Estas cinco clases de equivalencia forman una partición de Z, es decir, cada número entero pertenece a una y solo una de ellas.

Uno de los resultados más importantes asociados a las relaciones de equivalencia es que estas dividen al conjunto en subconjuntos disjuntos que lo cubren completamente. Esta estructura natural se denomina partición.

Definición 3.

Sea ∼ una relación de equivalencia sobre un conjunto A. El conjunto cociente de A por ∼ se define como:

\[ A / \sim = \{ [x] \subseteq A : x \in A \} \]

Ejemplo 8. Sea A=Z y definamos la relación ∼ tal que a∼b si y solo si a≡b (mod 3). Esta relación es de equivalencia y genera las siguientes clases:

\[ \begin{cases} [0] = \{\dots,-6,-3,0,3,6,\dots\}, \\ [1] = \{\dots,-5,-2,1,4,7,\dots\}, \\ [2] = \{\dots,-4,-1,2,5,8,\dots\}. \end{cases} \]

El conjunto cociente de Z por ∼ está formado por estas tres clases:

\[ \mathbb{Z} / \sim = \{ [0], [1], [2] \} \]

Cada número entero pertenece exactamente a una de estas clases.

Este ejemplo muestra cómo la relación de congruencia módulo 3 divide al conjunto de los enteros en tres clases de equivalencia, según el residuo al dividir por 3. Cada número entero pertenece exactamente a una de estas clases, y no puede pertenecer a más de una. Este tipo de estructura es fundamental en criptografía, teoría de números y codificación, donde la clasificación por residuos permite trabajar con bloques o ciclos repetitivos de forma ordenada.

Ejemplo 9. Supongamos que tenemos el conjunto A formado por las direcciones de correo electrónico de todos los usuarios registrados:

\[ A = \{ "ana@empresa.com", "juan@empresa.com", "luis@otro.org", "maria@otro.org", "sofia@datos.net" \} \]

Definimos una relación ∼ sobre A tal que: x∼

y "si y solo si" x" y " y" tienen el mismo dominio de correo".

Esta relación es de equivalencia porque:

• Reflexiva: Todo correo tiene el mismo dominio que sí mismo.
• Simétrica: Si dos correos tienen el mismo dominio, entonces se relacionan en ambos sentidos.
• Transitiva: Si x y y tienen el mismo dominio, y y y z también, entonces x y z lo tienen.

Las clases de equivalencia resultantes son:

\[ \begin{cases} ["ana@empresa.com"] = \{"ana@empresa.com", "juan@empresa.com"\}, \\ ["luis@otro.org"] = \{"luis@otro.org", "maria@otro.org"\}, \\ ["sofia@datos.net"] = \{"sofia@datos.net"\}. \end{cases} \]

Por lo tanto, el conjunto cociente A/∼ está formado por estas tres clases, cada una representando un grupo de usuarios por dominio:

\[ A / \sim = \{ ["@empresa.com"], ["@otro.org"], ["@datos.net"] \} \]

En este caso práctico, se observa cómo una relación de equivalencia permite organizar a los usuarios de un sistema de información según el dominio de su correo electrónico. El conjunto cociente agrupa a los usuarios que comparten la misma organización o proveedor, lo cual puede ser útil para aplicar políticas de acceso, segmentar bases de datos, o generar reportes por entidad. Así, las relaciones de equivalencia no solo simplifican la estructura de los datos, sino que también permiten realizar análisis más eficientes y relevantes para la gestión de sistemas digitales.

Cada clase de equivalencia [x] es un subconjunto de A, y el conjunto de todas estas clases forma una colección de subconjuntos que:

• son mutuamente disjuntos (no comparten elementos),
• y cuya unión es todo el conjunto A.

Por tanto, se dice que el conjunto cociente A/∼ genera una partición de A.

Definición 4.

Una partición de un conjunto A es un conjunto (finito o infinito) de subconjuntos no vacíos {A_1,A_2,…} tales que:

• \[ A_i \cap A_j = \varnothing \quad \text{para } i \ne j, \]
• \[ A_1 \cup A_2 \cup \cdots = A. \]

La siguiente figura se ilustra una partición de un conjunto A formado por seis subconjuntos disjuntos.

Esta correspondencia es tan estrecha que puede demostrarse que toda partición de un conjunto define una relación de equivalencia, y a su vez, toda relación de equivalencia define una partición. Es decir, existe una relación biunívoca entre estos dos conceptos.

Ejemplo 10. La relación R es una relación de equivalencia sobre el conjunto A. Determina las clases de equivalencia distintas de R:

\[ A = \{0,1,2,3,4\}, \quad R = \{ (0,0), (0,4), (1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,3), (4,0), (4,4) \} \]

Solución: Consideremos elemento por elemento

• Para 0∈A, tenemos 0∼0, 0∼4, por lo tanto,

\[ [0] = \{0,4\} \]

• Para 1∈A, tenemos 1∼1, 1∼3, por lo tanto,

\[ [1] = \{1,3\} \]

• Para 2∈A, tenemos que 2∼2, por lo tanto,

\[ [2] = \{2\} \]

• Para 3∈A, como 3∼1, entonces,

\[ [3] = [1] = \{1,3\} \]

• Para 4∈A, como 4∼0, entonces,

\[ [4] = [0] = \{0,4\} \]

Por tanto, las clases de equivalencia (distintas) son

\[ [0] = [4] = \{0,4\}, \quad [1] = [3] = \{1,3\}, \quad [2] = \{2\} \]

Así, el conjunto cociente es

\[ A / \sim = \{ \{0,4\}, \{1,3\}, \{2\} \} \]