En muchas situaciones prácticas es necesario combinar, comparar o separar conjuntos para analizar relaciones entre elementos. Las operaciones entre conjuntos permiten formalizar estas acciones, y constituyen una herramienta fundamental en la Matemática Discreta. A través de ellas podemos responder preguntas como: ¿Qué elementos comparten dos conjuntos? ¿Cuáles pertenecen solo a uno de ellos? ¿Quiénes están fuera de un grupo específico?

Estas operaciones no solo son útiles en contextos matemáticos, sino que también tienen aplicaciones concretas en áreas como bases de datos, seguridad informática y análisis de información. Además, guardan una estrecha relación con los conectores lógicos vistos anteriormente: la unión de conjuntos es análoga a la disyunción (∨), la intersección se relaciona con la conjunción (∧), el complemento con la negación (¬) y la diferencia se puede expresar mediante combinaciones de estos conectores.

La unión de dos o más conjuntos es una nueva colección que incluye todos los elementos que pertenecen a cualquiera de los conjuntos originales. Si un elemento está en el conjunto A «o» en el conjunto B, entonces estará en la unión. Por eso, la unión se relaciona directamente con la disyunción (∨) (Erciyes 2021).

Definición 1: Unión de conjuntos.

Dados los conjuntos A y B, llamaremos la unión de A y B a

\[ A \cup B = \{ x : x \in A \lor x \in B \} \]

Esto significa que un elemento x pertenece a la unión de A y B si x es un elemento de A o si x es un elemento de B (o ambos).

Consideremos dos conjuntos:

• A={1,2,3,4,5}
• B={3,4,6,7}

Para encontrar la unión de A y B, simplemente juntamos todos los elementos de ambos conjuntos, asegurándonos de no repetir ninguno:

\[ A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \]

Fíjate que los números 3 y 4 aparecen tanto en A como en B, pero en la unión solo los escribimos una vez.

La unión tiene algunas propiedades importantes que te ayudarán a entenderla mejor:

• Los conjuntos originales siempre están contenidos en su unión. Es decir:

\[ A \subseteq A \cup B \quad \text{y} \quad B \subseteq A \cup B \]

Esto significa que la unión siempre será un conjunto «más grande o igual» que cualquiera de los conjuntos que la forman.

• Unir A con B es lo mismo que unir B con A.

\[ A \cup B = B \cup A \]

Es decir, en la unión, el orden no importa, o, de manera formal, la unión es una operación conmutativa.

Por otro lado, podemos unir tantos conjuntos como queramos. Si añadimos un tercer conjunto:

• C={4,7,8}

La unión de A, B y C sería:

\[ A \cup B \cup C = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \]

La idea sigue siendo la misma: recopilamos todos los elementos que aparecen en al menos uno de los conjuntos.

Ahora, ¿qué pasa si queremos encontrar solo los elementos que son comunes a todos los conjuntos? Para eso usamos la intersección.

La intersección de dos o más conjuntos es el nuevo conjunto que contiene solo los elementos que están presentes en todos los conjuntos originales. Un elemento debe estar en el conjunto A «y» en el conjunto B para ser parte de la intersección. Por eso, la intersección se asocia con la conjunción (∧) (Erciyes 2021).

Definición 2: Intersección de conjuntos.

Dados dos conjuntos A y B, llamaremos la intersección de A y B a

\[ A \cap B = \{ x : x \in A \land x \in B \} \]

Esto significa que un elemento x pertenece a la intersección de A y B si x es un elemento de A y al mismo tiempo x es un elemento de B.

Usando los mismos conjuntos de antes:

• A={1,2,3,4,5}
• B={3,4,6,7}

Para encontrar la intersección de A y B, buscamos los elementos que aparecen en ambos conjuntos:

\[ A \cap B = \{ 3, 4 \} \]

Los únicos elementos que están en A y también en B son el 3 y el 4.

La intersección también tiene propiedades importantes:

• La intersección siempre está contenida dentro de cada uno de los conjuntos originales: A∩B⊆A y A∩B⊆B
• La intersección siempre será un conjunto «más pequeño o igual» que cualquiera de los conjuntos que la forman.
• Interceptar A con B es lo mismo que interceptar B con A: A∩B=B∩A

Es decir, la intersección es también una operación conmutativa.

Si nuevamente consideramos el tercer conjunto C={4,7,8}, la intersección de los tres conjuntos sería:

\[ A \cap B \cap C = \{ 4 \} \]

Esto se debe a que el número 4 es el único elemento que está presente en el conjunto A, en el conjunto B y en el conjunto C al mismo tiempo.

Ya dominamos cómo combinar conjuntos con la unión (todo junto) y cómo encontrar elementos compartidos con la intersección (solo lo común). Pero ¿qué pasa si queremos ser más específicos? Por ejemplo, ¿cómo podemos identificar qué elementos están en un conjunto, pero no en otro? O, si estamos trabajando con un conjunto de elementos específico, ¿cómo sabemos qué elementos no están en él? Para esto, tenemos las operaciones de diferencia y complemento.

La diferencia entre dos conjuntos, A y B es un nuevo conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B (Epp 2020).

Definición 3: Diferencia de conjuntos.

Dados dos conjuntos A y B, llamaremos la diferencia entre A y B a

\[ A \setminus B = \{ x : x \in A \land x \notin B \} \]

Consideremos los conjuntos que hemos usado antes:

• A={1,2,3,4,5}
• B={3,4,6,7}

Tenemos que:

\[ A \setminus B = \{ 1, 2, 5 \} \]

Estos son los elementos que están en A (el 1, 2, 3, 4, 5) pero que no aparecen en B (el 3 y 4 están en B, así que no los incluimos). Son los elementos exclusivos de A.

Por otro lado,

\[ B \setminus A = \{ 6, 7 \} \]

Estos son los elementos que están en B (el 3, 4, 6, 7) pero que no aparecen en A. Son los elementos exclusivos de B.

Como puedes ver en los ejemplos, la diferencia no es conmutativa: A∖B≠B∖A. El orden de los conjuntos sí importa en esta operación.

A menudo, al trabajar con conjuntos, nos queremos referir a todos los elementos posibles. Para que esto tenga sentido, necesitamos definir cuál es el «todo» al que nos estamos refiriendo. Este «todo» se llama el Universo de referencia o Universo del discurso, y se denota comúnmente con U.

El universo de referencia (U) es el conjunto que contiene todos los elementos posibles con los que estamos trabajando en un contexto particular. Con esto, podemos tener la idea de crear el conjunto de «todo lo que no es» parte de un conjunto. Por ejemplo, si tu universo de referencia son «todos los números naturales del 1 al 10», y tu conjunto A es «los números pares», entonces todo lo que no está en A será «los números impares», dentro de ese rango.

Una vez que hemos establecido nuestro universo de referencia U, el complemento de un conjunto A es el nuevo conjunto que contiene todos los elementos del universo U que no pertenecen a A (Epp 2020).

Definición 4: Complemento de conjuntos.

Dado un conjunto A, llamaremos el complemento de A a

\[ A^c = \{ x : x \notin A \} \]

Supongamos que nuestro universo de referencia es el conjunto de números del 1 al 7:

\[ U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \]

Ahora, consideremos un conjunto A dentro de este universo:

\[ A = \{ 2, 4, 6 \} \]

Entonces, el complemento de A (A^c) será todo lo que está en U pero no está en A:

\[ A^c = \{ 1, 3, 5, 7 \} \]

Estos son los números impares dentro de nuestro universo de referencia U.

El complemento tiene algunas propiedades útiles (Epp 2020):

• Si tomas el complemento de un complemento, vuelves al conjunto original: (A^c)^c = A
• Si un conjunto está contenido en otro, el complemento del segundo estará contenido en el complemento del primero: Si A⊆B, entonces B^c⊆A^c
• El complemento de un conjunto puede entenderse como la diferencia entre el universo y el conjunto: A^c = U∖A

Esto significa que A^c contiene todos los elementos del universo U que no están en el conjunto A.

Tenemos más propiedades y definiciones sobre las operaciones de conjuntos que serán de utilidad:

• La intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío (⌀) es el conjunto vacío: A∩⌀ = ⌀
• La intersección de un conjunto con su complemento es el conjunto vacío: A∩A^c = ⌀
• La unión de un conjunto con su complemento es el universo de referencia completo: A∪A^c = U
• Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos si A∩B = ⌀

Ejemplo 1. Considera el universo de referencia U={1,2,3,4,5,6,7,8}, y sean:

\[ A = \{ 2, 4, 6 \}, \quad B = \{ 1, 2, 3, 4 \} \]

Calculemos A^c∖B.

El complemento de A (A^c) son todos los elementos que están en nuestro Universo U pero no están en el Conjunto A. Para calcularlo, simplemente «quitamos» los elementos que contiene A del conjunto U:

\[ A^c = \{ 1, 3, 5, 7, 8 \} \]

Ahora, vamos a encontrar la diferencia entre A^c y B. Esto significa que queremos todos los elementos que están en A^c pero no están en B. Así, tenemos:

\[ A^c \setminus B = \{ 1, 3, 5, 7, 8 \} \setminus \{ 1, 2, 3, 4 \} \]

De aquí, obtenemos que:

\[ A^c \setminus B = \{ 5, 7, 8 \} \]

Ejemplo 2. Sea el universo U={a,b,c,d,e,f} y los conjuntos:

\[ A = \{ a, b, c \}, \quad B = \{ b, d \} \]

Calculemos B^c∪A.

Primero encontramos el complemento de B respecto al universo:

B^c=U∖B={a,c,e,f}.

Ahora unimos ese conjunto con A:

\[ B^c \cup A = \{ a, b, c \} \cup \{ a, c, e, f \} = \{ a, b, c, e, f \} \]

Ejemplo 3. Considera el universo U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y los conjuntos:

\[ A = \{ 2, 4, 6, 8 \}, \quad B = \{ 3, 4, 5, 6 \}, \quad C = \{ 1, 3, 7 \} \]

Calculemos

\[ (A^c \cap B) \cup C \]

Primero calculamos el complemento de A:

\[ A^c = U \setminus A = \{ 1, 3, 5, 7, 9 \} \]

Luego, la intersección con B:

\[ A^c \cap B = \{ 1, 3, 5, 7, 9 \} \cap \{ 3, 4, 5, 6 \} = \{ 3, 5 \} \]

Ahora unimos ese resultado con C:

\[ (A^c \cap B) \cup C = \{ 3, 5 \} \cup \{ 1, 3, 7 \} = \{ 1, 3, 5, 7 \} \]

5.2.1. Leyes de De Morgan

Estas leyes son importantes porque nos muestran cómo las operaciones de complemento se relacionan con la unión e intersección, permitiéndonos simplificar o transformar expresiones complejas. Se basan en las equivalencias lógicas del mismo nombre:

\[ \neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q \quad \text{y} \quad \neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q \]

• Complemento de una Unión: El complemento de una unión de conjuntos es igual a la intersección de sus complementos:

\[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \]

• Complemento de una Intersección: El complemento de una intersección de conjuntos es igual a la unión de sus complementos:

\[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \]

Además de estas leyes, existen muchas otras propiedades que forman parte de lo que se conoce como el álgebra de conjuntos. Este conjunto de reglas permite manipular expresiones con conjuntos de manera sistemática, y se basa en principios similares al álgebra de proposiciones lógicas.

Los diagramas de Venn son representaciones gráficas que permiten visualizar la relación entre conjuntos mediante regiones del plano. Esta herramienta fue introducida por el matemático británico John Venn en 1881 (Epp 2020), y resulta especialmente útil para ilustrar operaciones como la unión, la intersección, la diferencia y el complemento.

En un diagrama de Venn, cada conjunto se representa como una región (generalmente circular) dentro de un universo, y la posición y superposición entre esas regiones reflejan las relaciones lógicas entre los conjuntos.

• Unión: la región sombreada representa todos los elementos que están en A, en B, o en ambos.

• Intersección: se sombrea únicamente la zona donde A y B se superponen, es decir, donde un elemento pertenece a ambos conjuntos a la vez.

• Diferencia: en A∖B se representan los elementos que están en A pero no en B.

• Complemento: el complemento A^c representa todos los elementos que están fuera del conjunto A, dentro del universo considerado.

En diversas situaciones reales, intervienen más de dos conjuntos que queremos analizar simultáneamente. Por ejemplo, en un sistema informático podríamos tener:

• A: conjunto de usuarios con acceso al servidor principal.
• B: conjunto de usuarios con permisos de administrador.
• C: conjunto de usuarios activos en la última semana.

Una pregunta que podríamos hacernos es: ¿quiénes tienen acceso al servidor, no son administradores, pero sí estuvieron activos recientemente? Esa pregunta corresponde a la operación:

\[ (A \setminus B) \cap C \]

Esta expresión puede visualizarse de forma clara utilizando un diagrama de Venn con tres conjuntos.

Concepto de relación

Para describir cómo se conectan los elementos de dos o más conjuntos diferentes, utilizamos la noción fundamental de producto cartesiano (Epp 2020).

Definición 1: Producto cartesiano

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de A y B como el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) donde x es un elemento de A e y es un elemento de B. Formalmente, se expresa como:

\[ A \times B = \{ (x, y) : x \in A \land y \in B \} \]

A continuación algunos ejemplos:

• Sea C={"Rojo,Azul"} el conjunto de colores y T={"S,M,L"} el conjunto de tallas. El producto cartesiano C×T nos da todas las combinaciones posibles de color y talla:

\[ C \times T = \{ (\text{"Rojo"}, S), (\text{"Rojo"}, M), (\text{"Rojo"}, L), (\text{"Azul"}, S), (\text{"Azul"}, M), (\text{"Azul"}, L) \} \]

• Sean A={1,2,3} y B={2,3,4}. El producto cartesiano A×B es:

\[ A \times B = \{ (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4) \} \]

Una propiedad importante del producto cartesiano es que la cardinalidad del producto cartesiano de dos conjuntos es igual al producto de las cardinalidades de los conjuntos individuales. Formalmente:

\[ |A \times B| = |A| \cdot |B| \]

Utilizando el ejemplo anterior de A={1,2,3} y B={2,3,4}, tenemos que |A|=3 y |B|=3. Por lo tanto, la cardinalidad de su producto cartesiano es:

\[ |A \times B| = 3 \cdot 3 = 9 \]

Esto coincide con el número de pares ordenados que enumeramos, que son efectivamente 9 pares.

El concepto de producto cartesiano puede extenderse a un número arbitrario de conjuntos. Si tenemos n conjuntos A_1,A_2,…,A_n, su producto cartesiano A_1×A_2×…×A_n es el conjunto de todas las n-tuplas (x_1,x_2,…,x_n ) donde cada x_i∈A_i (Epp 2020).

Cuando se trata del producto cartesiano de un conjunto consigo mismo n veces, lo denotamos como A^n. Formalmente, A^n=A×A×…×A (n veces).

Ejemplo 1 A^2. Dado un conjunto A={1,0}, A^2 se define como A×A:

\[ A^2 = A \times A = \{ (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) \} \]

Aquí, cada elemento es un par ordenado de elementos de A.

Ejemplo 2 A^3. Dado el mismo conjunto A={0,1}, A^3 se define como A×A×A:

\[ A^3 = A \times A \times A = \{ (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) \} \]

En este caso, cada elemento es una terna ordenada de elementos de A.

El producto cartesiano genera todas las combinaciones ordenadas posibles entre los elementos de los conjuntos involucrados. Sin embargo, en muchas situaciones, no nos interesan todas estas combinaciones, sino solo algunas conexiones específicas que tienen un significado particular. Para representar estas asociaciones seleccionadas, utilizamos el concepto de relación.

Se puede pensar en una relación de un conjunto a otro como una tabla que lista los elementos del primer conjunto que se relacionan con los elementos del segundo conjunto bajo cierta condición. Por ejemplo, la siguiente tabla muestra qué estudiantes están inscritos en qué carreras universitarias:

En la terminología de las relaciones, decimos que Guillermo está relacionado con Ciencias de la Computación y Ciberseguridad, María está relacionada con Ciencia de Datos, y así sucesivamente. Aunque visualmente se presenta en forma de tabla, una relación no es otra cosa que un subconjunto del producto cartesiano A×B, es decir, un conjunto de pares ordenados donde el primer elemento se asocia con el segundo bajo una condición o criterio específico.

Consideremos los siguientes conjuntos:

• El conjunto de Estudiantes:

\[ E = \{ \text{"Guillermo"}, \text{"María"}, \text{"Beatriz"}, \text{"Juan"}, \text{"David"} \} \]

• El conjunto de Carreras:

\[ C = \{ \text{"Ciencias de la Computación"}, \text{"Ciencia de Datos"}, \text{"Ciberseguridad"}, \text{"Sistemas"} \} \]

El producto cartesiano E×C sería el conjunto de todas las combinaciones posibles de estudiantes y carreras. Por ejemplo:

\[ E \times C = \{ (\text{"Guillermo"}, \text{"Ciencias de la Computación"}), (\text{"Guillermo"}, \text{"Ciencia de Datos"}), \dots, (\text{"David"}, \text{"Sistemas"}) \} \]

Este conjunto contendría 5×4=20 pares ordenados.

La relación R de «estudiante está inscrito en carrera», basada en la tabla anterior, es un subconjunto específico de E×C:

\[ R = \{ (\text{"Guillermo"}, \text{"Ciencias de la Computación"}), (\text{"María"}, \text{"Ciencia de Datos"}), (\text{"Guillermo"}, \text{"Ciberseguridad"}), (\text{"Beatriz"}, \text{"Sistemas"}), (\text{"Beatriz"}, \text{"Ciencias de la Computación"}) \} \]

Nótese que R⊆E×C, lo que significa que cada par en R es también un par válido en el producto cartesiano completo.

Una vez comprendido el producto cartesiano, podemos definir formalmente lo que es una relación binaria entre dos conjuntos.

Definición 2: Relación Binaria.

Dados los conjuntos A y B, se dice que R es una relación de A en B si R es un subconjunto del producto cartesiano A×B. Es decir:

\[ R \subseteq A \times B \]

En términos más simples, una relación no es más que una selección específica de pares ordenados del producto cartesiano. Cada elemento de R es un par ordenado (a,b) donde a pertenece a A y b pertenece a B. Estos pares son los que «cumplen» la condición o propiedad que define la relación.

Si R es una relación de A en B y tenemos un par (a,b)∈R, decimos que «a está relacionado con b bajo la relación R». Esto se puede denotar de forma abreviada como aRb.

Cuando la relación es de un conjunto consigo mismo (es decir, A=B), decimos que R es una relación en A.

Veamos algunos ejemplos comunes de relaciones binarias para solidificar este concepto:

Ejemplo 3 (Relación de contenencia (⊆)). Dado un conjunto S, la relación de inclusión se define sobre el conjunto potencia P(S) (el conjunto de todos los subconjuntos de S). Relaciona un subconjunto con otro si el primero está contenido en el segundo:

\[ R_\subseteq = \{ (C, D) \in \mathcal{P}(S)^2 : C \subseteq D \} \]

Por ejemplo, si S={1,2,3}, entonces ({1},{1,2}) está en esta relación, ya que {1}⊆{1,2}.

Ejemplo 4 (Relación de igualdad (o identidad) (Δ_A)). Para cualquier conjunto A, la relación de identidad relaciona cada elemento consigo mismo y solo consigo mismo:

\[ \Delta_A = \{ (x, x) \in A^2 : x \in A \} \]

Si A={"manzana,banana"}, entonces

\[ \Delta_A = \{ (\text{"manzana"}, \text{"manzana"}), (\text{"banana"}, \text{"banana"}) \} \]

Ejemplo 5 (Relación total (A^2) y relación vacía (⌀)). Dado un conjunto A, el propio producto cartesiano A^2 es una relación sobre A conocida como la relación total. Esta relación conecta a cada elemento de A con todos los elementos de A. Por otro lado, el conjunto vacío ⌀ también es una relación sobre A; esta relación no conecta a ningún par de elementos.

El número de relaciones distintas que se pueden establecer entre dos conjuntos finitos se determina a partir de la cardinalidad del conjunto de potencia de su producto cartesiano. Así para A y B conjuntos finitos, el número total de relaciones distintas de A en B es:

\[ 2^{|A| \cdot |B|} \]

Una vez que hemos entendido qué es una relación, podemos explorar características que nos ayudan a comprender mejor cómo interactúan los elementos entre los conjuntos. Nos referimos al dominio, la imagen (o rango) y la relación inversa.

Definición 3: Dominio de una Relación.

Dada una relación R de un conjunto A a un conjunto B, el dominio de R, denotado como dom(R), es el conjunto de todos los elementos en A que están relacionados con al menos un elemento en B. Formalmente:

\[ \text{dom}(R) = \{ x \in A : \text{existe } y \in B \text{ tal que } xRy \} \]

En otras palabras, el dominio de una relación es la colección de todos los «primeros elementos» de los pares ordenados que forman la relación.

Ejemplo 6. Consideremos la relación R que asocia estudiantes con las carreras en las que están inscritos, que vimos en secciones anteriores:

\[ R = \{ (\text{"Guillermo"}, \text{"Ciencias de la Computación"}), (\text{"María"}, \text{"Ciencia de Datos"}), (\text{"Guillermo"}, \text{"Ciberseguridad"}), (\text{"Beatriz"}, \text{"Sistemas"}), (\text{"Beatriz"}, \text{"Ciencias de la Computación"}) \} \]

Esta relación en entre del conjunto de estudiantes E y el conjunto C el de las carreras.

El dominio de R, dom(R), es el conjunto de estudiantes que están inscritos en alguna de estas carreras:

\[ \text{dom}(R) = \{ \text{"Guillermo"}, \text{"María"}, \text{"Beatriz"} \} \]

Nótese que estudiantes como Juan, que pertenece a E al no estar inscrito en ninguna carrera, no es parte de ningún par de R, por lo tanto, no está incluido en el dominio.

Definición 4: Imagen o Rango de una Relación.

Dada una relación R de un conjunto A a un conjunto B, la imagen (o rango o recorrido) de R, denotada como img(R), es el conjunto de todos los elementos en B que son el «segundo componente» de al menos un par ordenado en R. Formalmente:

\[ \text{img}(R) = \{ y \in B : \text{existe } x \in A \text{ tal que } xRy \} \]

La imagen de una relación es el conjunto de todos los «segundos elementos» de los pares ordenados que constituyen la relación. Son los elementos de llegada que tienen al menos una conexión desde algún elemento del conjunto A.

Ejemplo 7. Retomando el ejemplo anterior, la imagen de R, img(R), es el conjunto de carreras a las que están inscritos los estudiantes mencionados:

\[ \text{img}(R) = \{ \text{"Ciencias de la Computación"}, \text{"Ciencia de Datos"}, \text{"Sistemas"} \} \]

Si hubiera otras carreras en el conjunto original C que no tuvieran ningún estudiante relacionado, no serían parte de la imagen.

Definición 5: Relación Inversa.

Dados los conjuntos A y B, y una relación R de A en B, la relación inversa de R, denotada como R^(-1), es la relación de B en A que se forma invirtiendo el orden de cada par ordenado en R. Formalmente:

\[ R^{-1} = \{ (y, x) \in B \times A : xRy \} \]

Esto implica que, para cualquier par

\[ (x, y) \in A \times B, \quad xRy \]

si y solo si

\[ R^{-1} x \]

La relación inversa es como ver la relación original «al revés». Si la relación R dice que «Guillermo estudia Computación», su inversa R^(-1) dirá que «Computación es estudiada por Guillermo».

Ejemplo 8. Tomemos nuevamente la relación de estudiantes con carreras. La relación inversa R^(-1) será una relación de Carreras a Estudiantes:

\[ R^{-1} = \{ (\text{"Ciencias de la Computación"}, \text{"Guillermo"}), (\text{"Ciencia de Datos"}, \text{"María"}), (\text{"Ciberseguridad"}, \text{"Guillermo"}), (\text{"Sistemas"}, \text{"Beatriz"}), (\text{"Ciencias de la Computación"}, \text{"Beatriz"}) \} \]

Ahora, los elementos de las carreras son los primeros componentes de los pares ordenados.

Definición 6: Composición de Relaciones.

Sean R una relación de A en B y S una relación de B en C. La composición de S con R, denotada como S∘R, es una relación de A en C definida como:

\[ S \circ R = \{ (x, z) \in A \times C : \text{existe } y \in B \text{ tal que } xRy \text{ y } ySz \} \]

La composición de relaciones es como encadenar dos relaciones. Si x se relaciona con y a través de R, y ese mismo y se relaciona con z a través de S, entonces podemos decir que x se relaciona con z mediante la composición S∘R. Hay un elemento «intermediario» y en el conjunto B que hace posible esta conexión de A a C.

Es importante notar que, aunque algunos textos puedan usar la notación R∘S, en este contexto (y siguiendo la convención matemática para la composición de funciones, de la cual las relaciones son una generalización), adoptaremos la convención de escribir S∘R. Esto significa que la relación que se aplica primero se escribe a la derecha (R), y la que se aplica después se escribe a la izquierda (S).

Ejemplo 9. La composición de las relaciones

\[ R_1 = \{(1,2), (1,6), (2,4), (3,4), (3,6), (3,8)\} \quad \text{y} \quad R_2 = \{(2,u), (4,v), (6,w), (4,t)\} \]

Es

\[ R_2 \circ R_1 = \{(1,u), (1,w), (2,v), (2,t), (3,v), (3,t), (3,w)\} \]

Por ejemplo

\[ (1,u) \in R_2 \circ R_1 \text{ porque } (1,2) \in R_1 \text{ y } (2,u) \in R_2. \]

Ejemplo 10. Supongamos los siguientes conjuntos:

\[ A = \{\text{Estudiante}_1, \text{Estudiante}_2\} \]

\[ B = \{\text{Curso}_A, \text{Curso}_B\} \]

\[ C = \{\text{Profesor}_X, \text{Profesor}_Y\} \]

Definimos dos relaciones:

• R: Relación de «estudiante está inscrito en curso» (de A en B).

\[ R = \{(\text{Estudiante}_1, \text{Curso}_A), (\text{Estudiante}_2, \text{Curso}_B)\} \]

• S: Relación de «curso es impartido por profesor» (de B en C).

\[ S = \{(\text{Curso}_A, \text{Profesor}_X), (\text{Curso}_B, \text{Profesor}_Y)\} \]

La composición S∘R resulta en una relación de Estudiantes a Profesores:

\[ S \circ R = \{ (\text{"Estudiante"}_1, \text{"Profesor"}_X), (\text{"Estudiante"}_2, \text{"Profesor"}_Y) \} \]

Esto nos indica directamente qué estudiante se relaciona con qué profesor a través de los cursos que ambos comparten.

Para comprender y analizar mejor las relaciones, a menudo las visualizamos de diferentes maneras. Las representaciones más comunes son la sagital, la digráfica y la matricial. Cada una tiene sus propias ventajas y es útil en distintos escenarios.

Representación Sagital

La representación sagital es una forma intuitiva de dibujar una relación. Imagina dos columnas de puntos: una para los elementos del conjunto de partida (A) y otra para los elementos del conjunto de llegada (B). Luego, simplemente dibujamos una flecha desde un elemento de A hacia un elemento de B si están relacionados.

Ejemplo 11. Consideremos la relación de estudiantes y carreras de las secciones anterior. Para su representación sagital, dibujarás el conjunto de Estudiantes a la izquierda, y el de las carreras a la derecha. Luego, trazarás una flecha conectando cada elemento de la relación.

Cuando una relación ocurre dentro del mismo conjunto, la representación digráfica es la herramienta ideal para su representación (Johnsonbaugh 2018). Aquí, cada elemento del conjunto se convierte en un nodo (un círculo o punto). Si un elemento x está relacionado con un elemento y (es decir, xRy), dibujamos una flecha desde el nodo x hasta el nodo y.

Ejemplo 12. Consideremos el conjunto A={1,2,3} y la relación

\[ R = \{ (1,2), (2,3), (3,3), (3,1) \} \]

Para dibujar su digráfica, colocaríamos tres nodos etiquetados 1, 2 y 3. Luego, dibujaríamos una flecha desde el nodo 1 al nodo 2, otra desde el 2 al 3, otra desde el 3 al mismo 3 y finalmente una desde el 3 al 1.

La representación matricial es una forma más estructurada y computacional de ver una relación, especialmente útil cuando los conjuntos son finitos. Piensa en una tabla donde las filas representan los elementos del primer conjunto (A) y las columnas los elementos del segundo conjunto (B). Llenamos la tabla con ceros y unos.

Definición 7: Representación Matricial de una Relación.

Sea R una relación de A en B, donde A y B son conjuntos finitos. Si enumeramos sus elementos como:

\[ A = \{ x_1, x_2, \dots, x_m \} \quad \text{y} \quad B = \{ y_1, y_2, \dots, y_n \} \]

(donde |A|=m y |B|=n), entonces la representación matricial de R es una matriz M_R=(m_ij ) de tamaño m×n, donde cada entrada m_ij se define así:

\[ m_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } x_i \text{ está relacionado con } y_j \ (x_i R y_j), \\ 0 & \text{en caso contrario.} \end{cases} \]

Cada 1 en la matriz indica una conexión, mientras que cada 0 indica su ausencia.

Ejemplo 13. Tomemos nuestros conjuntos de estudiantes y carreras y la relación que hemos venido trabajando. Para construir la matriz M_R:

• La primera fila representará a Guillermo, la segunda fila representará a María, y así hasta que la quinta fila representará a David.
• La primera columna representará Ciencias de la Computación, la segunda columna representará Ciencia de Datos, y así hasta que la cuarta columna representará a sistemas.

Dado que Guillermo está relacionado con Ciencias de la Computación, m_11=1, es decir, la entrada de la primera fila y primera columna tendrá un 1. Como Guillermo no está relacionado con Sistemas, m_12=0, es decir, la entrada de la primera fila y segunda columna tendrá un 0. Así, la matriz M_R sería:

\[ M_R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]