Con frecuencia se desea determinar la probabilidad de algún evento (A), dado que antes otro evento ya haya ocurrido (B) y se denota como P(A|B) . Veamos algunos ejemplos:

Se sabe que una pareja tiene 2 hijos y que al menos 1 de ellos es niño. Cuál es la probabilidad de que los 2 sean varones?  En el lanzamiento de dados, ¿cuál es la probabilidad de sacar un 2, sabiendo de antemano de que la anterior fue un número par?

Adaptación de la fórmula para la resolución de la probabilidad condicional de Webster (2000) capitulo 4

Como podemos ver el denominador es la intersección de 2 conjuntos. Aquí podemos tener dos posibilidades: Si los sucesos A y B son incompatibles (excluyentes) entonces la solución es fácil ya que A nunca se realizará. Caso contrario si no es un conjunto vacío es posible que el evento A se pueda presentar. Sin embargo, el espacio muestral E se restringirá al evento B.

La Probabilidad Condicionada permite calcular la probabilidad de la intersección de dos sucesos, es decir, la probabilidad de que se den ambos sucesos A y B, de esta forma, la probabilidad de que tanto A como B ocurran es igual a la probabilidad de que A ocurra dado que B haya ocurrido multiplicado por la probabilidad de que B ocurra.

Por ejemplo, calcular cual es la probabilidad de obtener una J, dado que sabemos que es una figura F, denotado como P (J|F)

Aplicando la fórmula anterior tendríamos

P(J) = 4/52 dado que existen 4 Js

P(F|J) =1 porque todas las J son figuras

P(F) = 12/52 porque existen 12 figuras.

Por lo tanto P(J|F)=(4/52)*1/(12/52)= 4/12

Este es el concepto de probabilidad condicional del evento A dado que se conoce que el evento B ya ocurrió.

Supongamos que tenemos un conjunto completo de sucesos Ai , i = 1, . . . , n y un suceso B cualquiera del espacio muestral. A veces es necesario conocer la probabilidad de uno de los sucesos Aj condicionada a que haya ocurrido B.

Veamos un ejemplo concreto:

Una fábrica tiene 2 equipos que producen la misma mercadería, la maquina 1 es más nueva y por lo tanto trabaja más rápido y produce el 60% de la producción, la maquina 2 es más antigua y produce el 40% restante. La máquina 1 además tiene apenas un 2% de producto descartado, mientras que máquina 2 tiene un 4% de producto descartado. De esta descripción podemos concluir lo siguiente tabla

Entonces conociendo en que máquina fue producido un ítem podemos obtener su probabilidad que éste sea OK o Descartado. Sin embargo, es posible que deseamos hacer el análisis inverso: Dado un ítem que sabemos ha sido descartado, cual es la probabilidad de que haya sido producido en la maquina 1. Para lo cual aplicamos la fórmula de probabilidad condicional figura 5.

Que en nuestro ejemplo sería:

Pero el problema es que P(Des) no se conoce. Para resolver el problema partimos de la formula de probabilidad condicional (en la segunda forma) sustituyendo el evento B por D (descarte)

Cuando se hace la sustitución en el denominador de la fórmula de la probabilidad condicional anterior para P(D), el teorema de Bayes nos indicara:

Que en nuestro ejemplo sería

P(Des)= 0.012/(0.012 +0.016) = 0.429

En general el teorema de Bayes puede ser generalizado para trabajar con k sucesos a la vez. Si se dispone de una serie de sucesos definidos como {A_i}_i=1…k es decir un sistema completo de k sucesos, el teorema se generaliza de acuerdo a la siguiente figura.

Adaptación de las fórmulas para la resolución del Teorema según Soto (s.f.)

Como habíamos mencionado anteriormente una variable cualitativa es aquella que no se expresa en forma numérica. Estas pueden ser nominales u ordinales, pero lo importante es que estas variables sirven como elementos de agrupación o categorización, por lo tanto, la representación de este tipos de variable se realiza en términos de la frecuencia de ocurrencia de dicha variable.

Existen varias representaciones para variables cualitativas:

• Diagramas de pastel
• Diagramas de mosaico
• Diagramas de árbol
• Diagramas de ejes paralelos

Diagramas de pastel

El objetivo de estos gráficos es entender como se descompone un total en partes individuales. El gráfico típico en este caso es el diagrama de pastel, aunque el mismo procedimiento se puede realizar en un rectángulo y el resultado es un gráfico de barras apiladas. Los gráficos de pastel funcionan bien cuando el dataset es pequeño y no se requiere realizar comparaciones periódicas (como series de tiempo). Si se requiere comparar pasteles las diferencias pueden ser difícil de notar. La comparación se vuelve un poco más clara cuando usamos barras apiladas, aunque (otra vez) si el conjunto es grande la participación de cada proporción en el tiempo sigue siendo difícil de seguir. Es importante mencionar que estos diagramas no están hecho para mostrar valores (frecuencias) exactos

Diagramas de Mosaico

No es raro que queramos profundizar más y desglosar un conjunto de datos por múltiples variables categóricas a la vez. Por ejemplo, considere la data del Titanic. El dataset está compuesto por múltiples variables categóricas por lo que utilizar un diagrama de pastel no sería lo más adecuado, en su lugar haríamos un mosaico. En este tipo de gráfico, el área de cada una de las secciones repesenta la frecuencia de ocurrencia de la variable categórica.

En estos casos podemos tener dos posibilidades: Que un elemento pueda estar contenido en dos o más categorías o que cada elemento pertenezca exclusivamente a un categoría y que las categorías se anidan unas dentro de otras. Este último es conocido como un diagrama de árbol (treemap)

Los mapas de árbol muestran datos jerárquicos (estructurados en árbol) como un conjunto de rectángulos anidados. A cada rama del árbol se le da un rectángulo, que luego se coloca en mosaico con rectángulos más pequeños que representan subramas. Pero note que no hay posibilidad que un factor esté en más de un lugar.

Considere la data de mtcars, la variable categórica es cyl que representa la cantidad de cilindros que tiene el motor (4,6 u 8), por lo que no hay posibilidad de un vehículo se halle en dos categorías a la vez.

Diagramas de ejes paralelos

En los gráficos de conjuntos paralelos, a cada variable categórica se le asignará una posición en el eje X. El tamaño de la intersección de categorías de variables vecinas se muestra luego como diagonales gruesas, escaladas por la suma de elementos compartidos entre las dos categorías.

En esta distribución de probabilidades la variable es de tipo continua, por lo tanto, la variable puede tomar una cantidad infinita de valores, para cada valor de la variable aleatoria calcularemos su probabilidad, y si trazamos un diagrama en el cual en el eje X colocamos el valor de la variable y en el eje Y las probabilidades obtenidas, veremos que van delineando la forma de una campana de Gauss por eso le llamamos una distribución gaussiana.

Esta distribución tiene las siguientes características

• La curva es simétrica con respecto a su media. Hay más probabilidad de valores cercanos a la media, el 50% de los resultados caen debajo de la media, el otro 50% sobre la media
• La curva decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central.
• Es asintótica, esto significa que la curva se acerca cada vez más al eje x, pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, los puntos extremos de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones.
• La media, mediana y moda son iguales.

Por supuesto, no todos los procesos que generan este tipo de distribución presentan exactamente esta curva. Note por ejemplo que esta curva está centrada en el valor 10 y (aunque no es fácil de visualizar), una desviación estándar de 12. Para entender este concepto veamos la función matemática de genera esta curva.

Adaptación de la fórmula tomada de Aula360 (s.f.) Apuntes Unidad 3 Distribución Normal

Donde:

µ es la media, la mediana, la moda y el valor esperado

σ es la desviación estándar de la población

σ² es la varianza

Φ representa la función de densidad de probabilidad

Note que en la función figuran los valores de µ (media) y σ (desviación estándar), esto quiere decir que la distribución varía en función de estos argumentos y en última instancia del proceso generador de datos. Cuando la media de una distribución es cero y la desviación estándar es igual a uno, decimos que tenemos una distribución gaussiana normal o estándar.

Funciones de probabilidad:

Las funciones de probabilidad son funciones estadísticas (es decir, no son funciones programáticas) que describen la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.

En distribución gaussiana las funciones PDF y CDF siguen la forma indicada en la siguiente figura

Note que la función PDF nos indica que la máxima probabilidad se da en la media y que la suma de las probabilidades (o el área debajo de la curva) siempre será igual a 1 o 100%. Por otro lado, el CDF representa la probabilidad acumulada desde -∞ hasta un valor dado, por lo que en la medida que dicho valor dado incrementa la probabilidad acumulada tiende a 1.

En base a lo anterior podemos concluir que la probabilidad de un valor dado de la variable aleatoria, va a depender de su distribución. Por ejemplo, la probabilidad de obtener el valor 100 en la figura 3a es relativamente bajo, sin embargo, la probabilidad obtenida si la distribución estuviera centrada en 100 sería la más alta. Aquí entra el estadístico Z.

Estadístico Z

Eventualmente necesitamos comparar dos distribuciones que tienen µ y σ diferentes para ver qué tan alejado está un valor x dado de la media. En estos casos la comparación de las distribuciones se vuelve muy complicado, por lo que se estila usar el estadístico Z.

El estadístico Z se denomina variable tipificada de X. Es una forma de ver a cualquier distribución en forma estandarizada en términos o múltiplos de su desviación estándar, en otras palabras, el valor Z es la cantidad de desviaciones estándar a la que está distanciada un valor x de su media.

Adaptación de la fórmula para la resolución de medias de Webster (2000) capitulo 4

Entonces, si tenemos una distribución gaussiana y tomando en cuenta el cálculo de las probabilidades CDF de la figura 2, podemos asegurar que a Z= ±1 σ , tenemos una suma de probabilidades (o cobertura) del 68.26%, o en otras palabras, dentro ±1 σ tenemos una probabilidad de encontrar el 68.26% de los valores.

A Z=±2σ tenemos una cobertura del área (o están incluidos) el 95.44% de las probabilidades.

A Z=±3σ tenemos una cobertura del área (o están incluidos) el 99.72% de las probabilidades.

La figura 5 resume el valor Z, su equivalencia en sigmas y el porcentaje de cobertura de las probabilidades

Adaptación de la fórmula para la resolución de medias de Webster (2000) capitulo 4

Sin embargo, de lo mencionado arriba, ningún problema de distribución se trata en términos de cobertura del 68.26% , 95.44% o 99.72% , más bien se utilizan los valores más estandarizados de Z que corresponden valores como se muestra en la tabla 2.

Funciones programáticas distribución gaussiana

Como habíamos indicado anteriormente, las funciones PDF, CDF son funciones o conceptos estadísticos, pero ahora veremos cuales son las funciones programáticas que nos ayudan en el cálculo de probabilidades.

La siguiente tabla indica como calcular la función PDF, CDF y el inverso de CDF de una distribución gaussiana (valores por defecto mostrados).

Función rnorm

Esta función sirve para generar un conjunto de datos que sigue una distribución dada por los argumentos mean (media) y sd (la desviación estándar). El argumento n representa la cantidad de elementos que se desea retorne un vector con la distribución dada.

Función dnorm

Esta función devuelve el valor de la función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución normal dada una determinada variable aleatoria x, una media poblacional μ y la desviación estándar poblacional σ.

Veamos un ejemplo.

#Creamos una serie serie4 <-rnorm(1000 , mean=50, sd=10) #Obtenemos su densidad df4 <- data.frame(X=serie4 , Y=dnorm(serie4, mean=50 ,sd=10)) #definimos un valor x=40.5 #Obtenemos la proabilidad para x prob_valor <- dnorm(x, mean=50, sd=10) #Graficamos g<- ggplot(data=df4 , aes(x=X, y=Y))+ geom_line()+ geom_vline(xintercept=x, color="red")+ geom_hline(yintercept=prob_valor) g

Obtenemos la siguiente figura

Función pnorm

Esta función calcula la probabilidad acumulada de una distribución dada por los argumentos de media y desviación mencionados anteriormente. Adicionalmente hay otro argumento lower.tail que es una variable lógica (TRUE/FALSE) y que indica el tipo de cálculo que se requiere. Por ejemplo, con lower.tail=TRUE (que es el valor por defecto) calculará la probabilidad acumulada desde -∞ hasta el valor dado por el argumento q, pero con lower.tail=TRUE calculará la misma probabilidad desde valores mayores a q hasta el +∞. El siguiente gráfico explica el concepto. Es importante notar que mientras el parámetro lower.tail =TRUE calcula la probabilidad acumulada para un valor x ≤ q cuando usamos lower.tail=FALSE

(a)

(b)

Figura 7: Probabilidad acumulada en rojo con lower.tail=TRUE (a) y lower.tail=FALSE (b)
Creación de autor Alfonso Prado

Función qnorm

Comúnmente se nos presenta el problema inverso al anterior, es decir, queremos obtener el valor debajo del cual se acumula una cierta probabilidad, para esto utilizaremos la función qnorm. Sus argumentos son similares al de pnorm excepto que ahora el argumento q representa la probabilidad acumulada que se desea obtener y la función retorna el valor debajo/encima del cual se obtiene dicha probabilidad. El siguiente pedazo de código explica el concepto.

Código para validar el inverso de CDF

#Obtenemos cual es la probabilidad acumulada del valor -1, para una media 0 #y desviación 1 pnorm(-1, mean=0, sd=1) Resultado 0.1586 #Ahora preguntamos cual es el valor debajo del cual obtenemos el 15.86% qnorm(.1586) Resultado: -1 #En otras palabras si tengo una probabilidad acumulada del 15.86% #cual es el valor de x que nos dará este CDF

En diversas ocasiones los investigadores pueden estar interesados en el valor que marca el 10% superior de una muestra, o por ejemplo debajo de qué valor se ubica el 35 % de los valores de una variable, y otra situación entre qué números limitan el 50% central de los datos de una distribución. Los valores que denotan estos cortes porcentuales son conocidos como cuantiles y dependiendo del número de cortes que se hagan sobre la muestra dichos cuantiles también se llamaran cuartiles (4 secciones), deciles (10 secciones) o percentiles (100 secciones). Todos estos cuantiles son explicados por una misma fórmula, la de los percentiles, que se explica a continuación para los datos agrupados y no agrupados.

Algunos percentiles reciben nombres especiales debido a que corresponden con valores cabalísticos o de bastante recurrencia en el ámbito estadístico. Por ejemplo, los percentiles de 25, 50 y 75 son conocidos como cuartiles en orden a que dividen la muestra en cuatro partes iguales y los cortes para esta división son hechos en los datos que ocupan dichas posiciones porcentuales.

Veamos un ejemplo concreto

En el siguiente conjunto de datos se proporcionan los ingresos de pacientes a un hospital por causa de una determinada dolencia durante 50 días.

En primer lugar debemos ordenar el dataset en forma ascendente

10,10,10,10, 11, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19
Como se busca el percentil k 75 y dado que n 50, se calcula a =75 (50)/100 37,5 aplicando la fórmula de los percentiles, se tiene:

A partir de lo anterior, se puede interpretar que el 75 % de los datos, es decir, el 75 % de los días del mes, se presentaron menos de 18 ingresos de pacientes al hospital.

Con frecuencia nos encontramos con situaciones en las que nos gustaría ver gráficamente cómo se distribuye una variable en particular en un conjunto de datos. Existen varias formas de diagramas distribuciones:

• Diagramas de caja
• Diagramas de violin

Diagramas de caja

Un diagrama de caja o “Boxplot” es una representación gráfica que incluye el rango, los cuartiles y la media, haciendo posible visualizar cómo están distribuidos los datos y además permitiendo ver la dispersión de estos.

A pesar de estar registrados varios tipos de estilos, en este texto manejaremos una de las más comunes, por ejemplo, en algunas versiones se estila incluir líneas de valores máximo y mínimo conocidas como los “bigotes” (extremo superior e inferior en la figura) del diagrama de caja, así como la presencia o ausencia de datos atípicos

Veamos un ejemplo

Del dataset midwest nos interesa saber cómo se distribuye la densidad poblacional de todos los estados y de cada uno de ellos por separado.

ggplot(data=midwest, aes(y=popdensity)) + geom_boxplot() + scale_fill_discrete()+ylim(0,10000)

Vemos que la densidad está corrida hacia abajo, con múltiples valores atípicos. Investigando un poco más profundamente podemos ver los diagramas de caja por estado

ggplot(data=midwest, aes(y=popdensity, x=state , group=factor(state), fill=factor(state))) + geom_boxplot() + scale_fill_discrete()+ylim(0,10000)

Diagrama de Violín

Los diagramas violín son igual que los boxplots pero incluyen una distribución al costado, es decir no solo interesa saber cual es el valor de 1Q, media , 3Q, etc. sino que dentro del Q1 queremos saber cuál es la distribución, tiene un sesgo (Asimetría y Curtosis)?

Toda esta información está disponible en el diagrama de violín, Veamos un ejemplo de la densidad poblacional del dataset midwest por estado, podemos observar que ningún estado tiene una distribución gausiana perfecta, indicando que todos los estados tienen áreas donde la densidad poblacional es superior al resto del área. Además, podemos notar que el diagrama de caja ha sido configurado para mostrar los siguientes percentiles: draw_quantiles=c(.1,.5, .75).