Empezaremos con algunas definiciones básicas

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Este teorema indica que a medida que el tamaño de la muestra, n, se hace más grande, la distribución muestral de las medias de la muestra tiende a seguir una distribución de probabilidad normal con una media igual a la media poblacional real, μ, y un error estándar de la media σ_x = σ/√n

Esto es así independientemente de la distribución que podría ser Student T, Poisson, Binomial etc. de la que se extrajo la muestra.

El teorema del límite central nos asegura que si tomamos una muestra lo suficientemente grande (n ≥ 30), entonces la distribución muestral se distribuirá normalmente, independientemente de la distribución de la población en sí. Si la población de la que se extrajeron las muestras no es normal o si simplemente no sabemos si la población es normal o no, entonces el teorema del límite central se mantendrá siempre que tengamos una muestra grande de 30 o más.

En la clase validaremos este concepto para las distribuciones de Poisson y Binomial.

Estadístico t

Al igual que el concepto del estadístico Z, la distribución T cuenta con un estadístico llamado t que nos indica que tan alejada de la media se halla un valor x.

Este indicador nos sirve para analizar la probabilidad en la distribución t, al igual que el Z en la distribución gaussiana, la distribución T es una distribución normal con forma de campana, pero la distribución normal es más alta en el centro y más baja en ambos extremos o colas. El área debajo de la curva  representa la probabilidad de las observaciones, por lo que es probable que la mayoría de los puntos de datos estén cerca del centro del gráfico, mientras que es probable que haya menos puntos en las secciones más altas o más bajas, representadas por el área más pequeña hacia las colas del gráfico.

Debido a lo anterior la probabilidad PDF y CDF de T no son iguales a la distribución gaussiana o normal.

De acuerdo a Rumsay (2009) En muchos casos, no se conoce la desviación estándar de la población, σ. Para estimar la media de la población utilizando un intervalo de confianza cuando se desconoce σ, se utilizará la fórmula siguiente.

Adaptación de la fórmula para la resolución intervalos de confianza según Webster (2000) capitulo 7

Donde:

µ= media de la población

x = media de la muestra

S= desviación estándar de la muestra

n=Tamaño de la muestra

La distribución t se utiliza cuando se cumplen las tres condiciones:

1. La muestra es pequeña. La pregunta que surge es que se considera pequeño. Como veremos más adelante, los valores del estadístico t se aproximarán a los de estadístico Z cuando la cantidad de observaciones se encuentre sobre 30 observaciones. Es decir, si por ejemplo estamos tratando con una muestra de 10 observaciones, las diferencias entre Z y t serán significativas.
2. Sigma (σ) es desconocida. Normalmente no conocemos la varianza y desviación de la población. En la clase anterior habíamos dicho que, si no se conoce sigma, esta puede ser reemplazado por s/√n , pero con muestras pequeñas la diferencia entre sigma (σ) y s puede ser importante. Sin embargo, si σ es conocida, la distribución Z se usa inclusive si la muestra es pequeña
3. La población presenta una distribución normal o casi normal. Esto es obvio dado que con muestras pequeñas es difícil asegurar que ésta sigue una distribución normal. Como veremos más adelante existen varias funciones que pueden indicar si una muestra es normal, pero en este caso con muestras pequeñas deberemos recurrir a funciones no paramétricas.

En base a los conceptos mencionados podemos establecer el siguiente mapa de decisión.

GRADOS DE LIBERTAD EN DISTRIBUCIÓN t

Decimos que la distribución T es una “familia” debido a que su forma y probabilidades varían dependiendo del concepto de Grados de Libertad que describimos a continuación:

En general podemos decir que una variable puede tomar una cantidad infinita de valores. Pero cuando existen restricciones entonces no todos los valores son posibles. Veamos un ejemplo: Se dispone de un conjunto de valores como {x1,x2,x3,x4}, para una variable, pero tengo una restricción, digamos que la suma de los elementos debe ser 20 . Entonces si en un momento determinado tengo {1,4,5,?} las primeras 3 variables pueden tomar cualquier valor, es decir tengo 3 grados de libertad, pero la cuarta está sujeta a la restricción (tiene que ser 10). Cuando se toma una muestra de longitud n, n-1 vienen a ser los grados de libertad de la variable.

Esto se debe a que la suma de las desviaciones de las observaciones con respecto a la media (x₁ – x̄, x₂ – x̄, x₃ – x̄, x₄ – x̄ y x₅ – x̄) debe ser igual a cero. Si utilizásemos n para calcular la varianza, estaríamos subestimando la variabilidad de la población. Por ello, recurrimos a n – 1 para conseguir una estimación no sesgada de la varianza de la población.

En general, definimos los grados de libertad como el número de observaciones menos el número de restricciones impuesta sobre tales observaciones.

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN T

• Una distribución t es simétrica.
• Es una distribución en forma de campana que se asemeja a la forma de una distribución normal y tiene una media de cero.
• Su distribución está parametrizada en base al concepto de grados de libertad v =n-1 , donde n es el tamaño de la muestra.
• Su varianza=v/(v - 2), donde v representa el número de grados de libertad o en función de n como se muestra en la siguientes figura.
• La distribución t tiene una media de cero.
• La distribución normal supone que la desviación estándar de la población es conocida. La distribución t no hace esta suposición.

Adaptación de la fórmula de la varianza de Webster (2000) capitulo 7

La varianza es mayor que 1 en todo momento. Sin embargo, tenga en cuenta que se acerca mucho a 1 cuando hay muchos grados de libertad. Con una gran cantidad de grados de libertad, una distribución t se parece a una distribución normal.

Las colas de una distribución t son más gruesas y menos puntiagudas que las de una distribución normal, lo que indica una mayor probabilidad en las colas.

La forma de una distribución t cambia con el cambio en los grados de libertad. Cuanto mayor sea los grados de libertad, mayor será la probabilidad de que ocurra y cuanto mayor sea la magnitud, más se parecerá la forma de una distribución t a una distribución normal estándar.

La densidad de probabilidad PDF se calcula con la siguiente fórmula

Adaptación de la fórmula de la probabilidad para muestras pequeñas de Webster (2000) capitulo 7

Donde

ν representa los grados de libertad

Г La función gamma

Mediante la formula anterior podemos realizar el siguiente diagrama de la distribución en función de los grados de libertad.

Al igual que la distribución normal, los prefijos usados para las funciones de distribución siguen siendo las mismas: d para densidad, p para probabilidad acumulada, q para obtener el inverso de p y r para crear un vector con determinados grados de libertad, y el sufijo será siempre t.

Donde

v= grados de libertad

x=vector de valores

q=vector de cuantiles

p=vector de probabilidades

lower.tail=TRUE para calcular P[X≤x] , FALSE para calcular P[X>x]

Descripción de la Funciones

La función pt() sirve para encontrar la probabilidad acumulada entre -∞ y el valor de la variable x , para un distribución con grados de libertad V dada, y el argumento lower.tail que indica en que sentido debe acumular las probabilidades, por defecto utilizaremos el argumento lower.tail=FALSE.

La función qt() es el inverso de pt(). En pt la función toma un valor q y retorna su probabilidad acumulada, mientras que en qt toma como argumento la probabilidad acumulada y retorna el valor q debajo del cual se logra dicha probabilidad

Por último, la función rt() nos permite crear un vector de n valores cuya distribución es T y tiene grados de libertad v.

Intervalo de confianza para la media poblacional

Una vez entendido el cálculo del estadístico t, podemos usarlo para inferir la media poblacional. Note que es similar a la fórmula utilizada en la distribución Z, pero en este caso sustituiremos el estadístico Z por el t. Nuestra formula quedaría como se describe en la siguiente figura.

Adaptación de la fórmula de Webster (2000) capitulo 7

Donde:

X es la media muestral

t es el estadístico calculado con los grados de libertad

¿Ahora nos preguntamos qué pasa si tengo 2 muestras de la misma población, pero con distinta cantidad de observaciones? Obviamente los grados de libertad serán diferentes y posiblemente la desviación estándar también será distinta.

¿Cada una de estas muestras nos daría una media estimada para la población diferente, cual vale??

Aquí tenemos dos casos, que las varianzas sean iguales entre las dos muestras y que las varianzas sean diferentes:

Si las varianzas son iguales vamos a calcular una varianza ponderada en donde los pesos son los grados de libertad n — 1 para cada muestra. Esta estimación ponderada se muestra en la siguiente figura:

Adaptación de la fórmula de la varianza de Webster (2000) capitulo 7

El intervalo de confianza para la diferencia entre las dos medias poblacionales se halla entonces con una distribución t con grados de libertad n1 + n2 - 2. Esto se debe a que para demostrar que existe diferencia entre las medias de las dos muestras, deberemos calcular el valor p usando (n₁ – 1) + (n₂ – 1) grados de libertad. Esto porque hemos tenido que calcular dos medias y por lo tanto se han reducido en 2 los grados de libertad.

Varianza ponderada

Presenta definiciones y casos de uso

Enlace

Adaptación de la fórmula del Intervalo de confianza de Webster (2000) capitulo 7

Por otro lado, cuando las varianzas son diferentes se puede aproximar los grados de libertad según la siguiente formula:

Adaptación de la fórmula según Webster (2000) capitulo 7

Y el intervalo de confianza para la diferencia entre medias poblacionales se calcularía de acuerdo a la siguiente figura

Adaptación de la fórmula de intervalos de confianza según de Webster (2000) capitulo 7

Veamos algunos ejemplos de cómo se puede usar la distribución t

Un fabricante de focos asegura que su producto dura 500 horas. Es imposible hacer un muestreo significativo para validar (esta es una pista que debemos usar distribución T).

Se hace una muestra con 25 focos. La media obtenida es 505.36 y una s=12.07

Pregunta: Esta o no garantizada la calidad mencionada por el fabricante.

Para resolver este problema podemos hacerlo de dos maneras distintas:

a) Calculando la media poblacional

#Valores obtenidos del enunciado n=25 media_muestral=505.36 s=12.07 mu=500 #Obtenemos el valor de t critico para IC=95% tcritico<- qt(0.95,24) tcritico #aplicamos la fórmula IC_bajo <- media_muestral - (tcritico*s/sqrt(25)) IC_alto <- media_muestral + (tcritico*s/sqrt(25))´ IC_bajo [1] 501.2299 IC_alto [1] 509.4901

b) Comparando Tcalculado vs. Tcrítico. En este caso vamos a calcular que tan distanciado está la muestra con respecto a un Tcrítico obtenido para el 95% de intervalo.

#Calculo el valor de t n=25 media_muestra=505.36 s=12.07 mu=500 #De acuerdo a la figura 2 tcalculado<- (media_muestra- mu)/(s /sqrt(n)) tcalculado [1] 2.220381 #Obtenemos el valor de t-critico para 95% de confianza, intconf =0.95 gl <-24 #25 -1 grados de libertad tcritico<-qt(intconf,gl, lower.tail=TRUE) tcritico 1.710882

En base a este último código obtenemos la siguiente figura

En la gráfica podemos notar que la recta roja corresponde al Tcritico al 95%, es decir, que debajo de esa línea se ubicarán el 95% de las posibilidades. Y la recta azul corresponde al t-calculado de la muestra que se encuentra hacia la derecha, esto indica que el tcalculado contiene más del 95% de los casos, esto indica que la calidad de los focos es todavía mejor que lo garantizado por el fabricante.

Ejercicio 2

En la cafetería de los estudiantes de la PUCE, existen máquinas expendedoras de café. Una muestra de 15 tazas da una media de 15.3 onzas con una varianza de 3.5. Estudiantes indican que la cantidad de café dispensado no es correcto. Se solicita al proveedor recalibrar la máquina Después de lo cual se hace una nueva medición que muestrea con 10 tazas produce un promedio de 17.1 onzas con una varianza de 3.9. Se asume que la varianza es constante antes y después del ajuste. Queremos validar si la recalibración produjo diferencias.

Primero debemos darnos cuenta que, lo que pide el problema es la diferencia entre las medias considerando que existen 2 muestras pequeñas con varianza igual, por lo tanto, las fórmulas que aplican son las de las figuras 8 y 9.

n1 <- 15 media1 <- 15.3 var1 <- 3.5 gl1 <- n1-1 n2<- 10 media2 <- 17.1 var2 <- 3.9 IC=0.975 #incluye cola izquierda gl2 <- n2-1   #En primer lugar calcularemos la varianza ponderada al cuadrado sp2 <- (var1*gl1 +var2*gl2)/(n1+n2-2) sp2 #Segundo tenemos que calcular los grados de libertad ponderados tcritico <- qt(IC,(n1+n2-2)) tcritico #Por último calculamos el intervalo ID_bajo <- (media1-media2) - tcritico*sqrt((sp2/15)+(sp2/10)) [1] -3.414905 ID_alto <- (media1-media2) + tcritico*sqrt((sp2/15)+(sp2/10)) [1] -0.1850947

Análisis: Revisando la respuesta de los intervalos de la diferencia (ID_bajo , ID_alto) notamos que esta diferencia no incluye el valor de 0, por lo tanto, podemos concluir que existió una diferencia después de la recalibración.

Empecemos por definir algunos conceptos:

¿Que un proceso de experimentación?

Definimos los procesos de experimentación como el proceso de medir u observar una actividad con el fin de recopilar datos. Supongamos que nuestro experimento de interés implica que un jugador de football profesional lanza tiros libres al arco. Cada tiro libre se consideraría un ensayo para el experimento. Para este experimento en particular, solo tenemos dos resultados posibles para cada ensayo, o el tiro libre entra o no entra al arco. A estos resultados se conocen como un éxito o fracaso. A este tipo de experimento llamaremos experimento binomial. Por otro lado, la distribución multinomial representa las probabilidades de varios posibles resultados a través de múltiples experimentos.

¿Qué es un ensayo en distribución binomial?

Los resultados de la distribución binomial se denominan como éxito o fracaso. La palabra éxito no necesariamente significa un resultado positivo. Es solo el resultado que nos interesa evaluar. Del mismo modo, la palabra fracaso no necesariamente significa un resultado negativo es solo un resultado que no nos interesa, o que no está mencionado explícitamente en los enunciados de los problemas.

Veamos algunos ejemplos:

• Comprobar si una parte manufacturada es defectuosa
• Observar la cantidad de defectos de control de calidad de producción

6.1 Distribución binomial

Por otro lado, decimos que la distribución binomial es una distribución con reemplazo. El concepto es el siguiente. Supongamos que se tiene un ánfora llena de bolas rojas y azules, y tenemos una persona sacando una bola a la vez. Intuitivamente diríamos que, si ya ha retirado 3 bolas rojas, la probabilidad de volver a sacar más bolas rojas disminuye. Este sería un ejemplo de una distribución sin sustitución. Por otro lado, una distribución en la que no importa la cantidad de bolas rojas o azules ya extraídas previamente, si la probabilidad de volver a obtener el mismo color no cambia, se dice que es “con reemplazo”.

De acuerdo con Webster(2020) Un experimento binomial tiene las siguientes características:

• El experimento consiste en un número fijo de ensayos denotado por n, este es un valor entero mayor que 0
• Cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles, un éxito o un fracaso
• La probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso son constantes durante todo el experimento y es denotado por π
• Cada experimento indica la cantidad de éxitos que se desea obtener, denotado por x

Supongamos que la probabilidad de aprobar un examen de estadística es solo el 60%, por lo que la probabilidad de reprobar es del 40 por ciento. Esto representa un experimento binomial, con p = 0,60 (la probabilidad de un “éxito”) y q = 0,40 (la probabilidad de un “fracaso”).

Podemos calcular la probabilidad puntual de obtener x éxitos en n ensayos utilizando la función PMF como se muestra en la siguiente figura

Adaptación de la fórmula para la distribución binomial según Webster (2000) capitulo 5

Vale la pena recordar para este cálculo que 0!=1 y que x⁰=1

Así como en la clase 2 se mostró como obtener la media de un vector de datos, también se puede determinar la media de una distribución de probabilidad. La media aritmética de una distribución de probabilidad se llama el valor esperado E(X), y se halla multiplicando n por la probabilidad como se muestra en la siguiente figura.

Adaptación de la fórmula para la media en distribución binomial según Webster (2000) capitulo 5

Donde:

E(X) es el valor esperado o media

n es la cantidad de ensayos

π es la probabilidad de obtener una respuesta afirmativa

Y la varianza de la distribución se muestra en la siguiente figura

Adaptación de la fórmula para la varianza en distribución binomial según Webster (2000) capitulo 5

Generalmente es mejor visualizar la probabilidad para entender la distribución de los datos. A diferencia de las distribuciones continuas en las que preferíamos representarlo mediante un diagrama de densidad, para las distribuciones binomiales usaremos un histograma.

Veamos un ejemplo concreto:

De acuerdo con un estudio de educación universitarias, el 40% de los estudiantes trabajan durante el verano para ganar dinero para su colegiatura del siguiente semestre.

Si 7 estudiantes se seleccionan de manera aleatoria, cual es la probabilidad de que 1,2,3,4,5,6 o 7 estudiantes trabajen.

La solución consiste en encontrar 7 probabilidades binomiales para cada uno de los valores con lo cual obtenemos el siguiente resultado. Note que la suma de todas las probabilidades es siempre igual a 1, lo cual es un requisito para todas las distribuciones de probabilidad.

Por otro lado, es interesante mencionar como se aplica el teorema del límite central a este tipo de distribuciones. Recordando el teorema establece que a medida que n se vuelve más grande, la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal con una media de μ y un error estándar de σ/√n. Para esto graficaremos 3 distribuciones binomiales con valores de cantidad de éxitos de 10, 100 y 1000, con una probabilidad π=0.3 y graficamos. Notaremos como la distribución se va aproximando a una distribución gaussiana.

El siguiente código nos permite visualizar la aplicación del teorema del limite central.

#Aproximación a la distribución normal df_10 <- data.frame(Exitos = rbinom(n=10000, size =10 ,prob=.3 ),Size=10) df_10 df_100 <- data.frame(Exitos = rbinom(n=10000, size =100 ,prob=.3 ),Size=100) df_100 df_1000 <- data.frame(Exitos = rbinom(n=10000, size =1000 ,prob=.3 ),Size=1000) df_1000 todo<- rbind(df_10, df_100, df_1000) head(todo) tail(todo) ggplot (data=todo , aes(x=Exitos))+ geom_histogram() + facet_wrap(~Size, scales="free")

Un caso especial de la distribución binomial es cuando n=1, esto es conocido como el ensayo de Bernoulli, si solo hay 1 ensayo con probabilidad de éxito p y probabilidad de fracaso 1-p, esto se llama distribución de Bernoulli.

La siguiente figura muestra la probabilidad de éxito y fracaso derivadas de las fórmulas anteriores

Figura 7

Probabilidad de éxito (a) y fracaso (b) en un ensayo de Bernoulli Prado A. (2025)

Adaptación de la fórmula de distribución binomial para un único ensayo según Webster (2000) capitulo 5

(a)

(b)

Donde:

$C\left(\mathrm{1,1}\right)$ N representa la cantidad de experimentos de Bernoulli

n representa la cantidad de éxitos esperados

P=π

De igual manera que vimos en la distribución normal, para el caso binomial tenemos las funciones que nos ayudan a calcular los resultados de un experimento puntual, que sería el PMF, o resultados acumulativos CDF. También de la misma forma la nomenclatura sigue los mismos lineamientos de la distribución normal, solo que en este caso sustituiremos el sufijo de norm por binom.

Donde:

x, q vector de cuantiles.

p vector de probabilidades.

n número de observaciones.

prob probabilidad de éxito en cada prueba

size número de pruebas.

lower.tail TRUE (default), probabilidad de P [ X ≤ x] , FALSE P [ X >x ]

Función dbinom

Esta función devuelve la densidad de probabilidad (PMF) de la distribución binomial dada un determinado valor que representa el número de resultados positivos que se desearía obtener, argumento x, en base a una cierta cantidad de ensayos dado por el argumento “size”, y cuando la probabilidad de éxito en cada ensayo es conocida y constante dado por el argumento “prob” .

Veamos un ejemplo

#Supongamos que los ítems producidos en una fábrica tienen una probabilidad de 0.005 #de ser defectuosos. Pero estos ítems se envían en cajas de cartón con 25 unidades #La fábrica produce 1500 ítems diarios. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja de cartón elegida al azar contenga exactamente un ítem defectuoso? #En este caso el valor de 1500 ítems no tiene ninguna importancia, porque se está preguntando por caja dbinom(x=1, size=25, prob=0.005) [1] 0.1108317

Función pbinom

Esta función devuelve el valor de la función de densidad acumulada (CDF) de la distribución binomial dada una determinada variable aleatoria q que representa el valor discreto debajo del cual o sobre el cual se desea acumular las probabilidades puntuales. El número de ensayos dado por el argumento “size” y con una probabilidad de éxito en cada ensayo constante y definida por el argumento “prob”. A fin de determinar si la probabilidad se acumula hacia la cola izquierda o cola derecha, utilizaremos el argumento lower.tail. lower.tail es una variable lógica, si esta toma el valor de verdadero (TRUE) indicaría que la acumulación es desde el valor discreto q hacia abajo (P [ X ≤ x]), caso contrario la acumulación es P([ X >x ]).

Veamos un ejemplo

#Un fabricante de discos USB externos para computadora entrega su producto en cajas de 20 discos. La tasa de fallos en los discos es del 10% . se desea saber cuál es la probabilidad de que 2 o más de los discos estén defectuosos y asumiendo esa probabilidad cual variación que el cliente esperaría encontrar de una caja a otra? n=20 prob=.1 x=3 p<- pbinom(x,n,prob=prob, lower.tail=FALSE) var= 20*p*(1-p) var [1] 2.305535

Función qbinom

Esta función devuelve el valor de la función de densidad acumulativa inversa (CDF) de la distribución binomial dada una determinada variable aleatoria p que representa la probabilidad acumulada, con un número de ensayos definido por el argumento “size” y con probabilidad de éxito en cada ensayo dada por el argumento “prob”. El valor que devuelve es el p-ésimo cuantil de la distribución binomial, es decir el valor debajo del cual o sobre el cual se obtiene una probabilidad acumulada p. El argumento lower.tail es también usado en esta función y tiene igual significado que lo mencionado arriba.

Veamos un ejemplo

#Sobre el mismo ejemplo anterior de la fábrica #Cuál es la cantidad de ensayos que tengo que hacer para obtener una probabilidad de 30% ,teniendo un universo=10 y cuando cada prueba tiene una probabilidad del 40% qbinom(p=.3 , size=10 ,prob=.4) [1] 3

Función rbinom

Esta función genera un vector de variables aleatorias distribuidas binomialmente dada una longitud de vector n, una cantidad de ensayos dada por el argumento “size” y una probabilidad de éxito en cada ensayo “prob”.

Veamos un ejemplo:

#Suponga que está a cargo del QC de una fábrica. La fábrica hace 150 ítems por día. #Los ítems defectuosos deben ser re elaborados. Sabemos que hay una tasa de error histórico del 5%. Queremos estimar cuantos ítems necesitaremos arreglar cada día esta semana (laboral). #Usamos rbinom para generar una serie con estas características, porque rbinom y no rnorm, bueno porque el enunciado es que ya sea el item o está bien manufacturado o no, esto hace que usemos la distribución binomial rbinom (n=5 , size=150 , prob=.05) #por que n=5? Es para poner en la misma unidad, si fabricamos 150 por semana, queremos 5 muestras en la semana para tener una diaria, cada muestra representará la cantidad de pruebas con ítems malos. size y prob son obvios #Veamos casos extremos(tendríamos que reparar casi todos) rbinom (n=5 , size=150 , prob=.9) #Para n=1 solo una prueba que es la distribución de Bernoulli rbinom (n=1 , size=10 , prob=.5)

Visualización de la probabilidad acumulativa

La mejor forma de visualizar estas probabilidades acumulativas es a través de la función geom_ribbon. El siguiente código explica cómo lograrlo en base a las probabilidades obtenidas de la figura 5.

#Primero debemos obtener un dataset que contenga el valor de x y su probabilidad df0 <- data.frame(x=NULL , prob=NULL) for ( a in seq(from=0, to=7, by=1)) { print(a) prob= dbinom(a,7,0.4) dfline=data.frame(x=a, prob=prob) df0 <- rbind(df0, dfline) } df0 #La vista del dataset nos presenta las probabilidades puntuales para cada valor de x #Ahora nos interesa saber la probabilidad acumulada para el valor de 4, implícitamente se estaría usando lower.tail=TRUE x prob 1 0 0.0279936 2 1 0.1306368 3 2 0.2612736 4 3 0.2903040 5 4 0.1935360 6 5 0.0774144 7 6 0.0172032 8 7 0.0016384 pbinom(4,7,0.4, lower.tail=TRUE) [1] 0.903744 #Creamos un subset de las probabilidades obtenidas dfsub <- subset(df0, x>= 0 & x<= 4) View(dfsub) x prob 1 0 0.0279936 2 1 0.1306368 3 2 0.2612736 4 3 0.2903040 5 4 0.1935360 ggplot(data=df0, aes(x=x, y=prob)) +geom_line()+ geom_ribbon(data=dfsub, aes(ymax=prob),ymin=0,fill="RED")

En otros casos se busca conocer la probabilidad acumulativa para un rango de valores, por ejemplo: De acuerdo con un estudio de educación universitarias, el 40% de los estudiantes trabajan durante el verano para ganar dinero para su colegiatura del siguiente semestre.

Si 7 estudiantes se seleccionan de manera aleatoria, cual es la probabilidad de que entre 3 y 5 estudiantes trabajen. Esto lo podemos obtener mediante una diferencia de probabilidades binomiales.

#Primero debemos obtener un dataset que contenga el valor de x y su probabilidad df0 <- data.frame(x=NULL , prob=NULL) for ( a in seq(from=0, to=7, by=1)) { print(a) prob= dbinom(a,7,0.4) dfline=data.frame(x=a, prob=prob) df0 <- rbind(df0, dfline) } df0 #La vista del dataset nos presenta las probabilidades puntuales para cada valor de x #Ahora nos interesa saber la probabilidad acumulada para el valor de 4, implícitamente se estaría usando lower.tail=TRUE x prob 1 0 0.0279936 2 1 0.1306368 3 2 0.2612736 4 3 0.2903040 5 4 0.1935360 6 5 0.0774144 7 6 0.0172032 8 7 0.0016384 dfsub <- subset(df0, x>= 3 & x<= 5) dfsub7 <- subset(df0, x>= 5 ) View(dfsub) ggplot(data=df0, aes(x=x, y=prob)) +geom_line()+ geom_ribbon(data=dfsub, aes(ymax=prob),ymin=0,fill="RED")+ geom_ribbon(data=dfsub7,aes(ymax=prob),ymin=0,fill="BLUE") #podemos validarlo m3 <- pbinom(2,7,0.4, lower.tail=FALSE) m5<- pbinom(5,7,0.4, lower.tail=FALSE) entre3_5 = m3-m5 entre3_5 [1] 0.5612544 #Del grafico podemos concluir que lo que la probabilidad de que entre 3 y 5 estudiantes trabajen durante el verano lo obtenemos mediante la resta de probabilidades de más de 3 estudiantes menos la probabilidad de más de 5 estudiantes. Según se muestra en la siguiente figura