Las funciones lógicas son relaciones matemáticas entre dos o más variables booleanas (es decir, variables que pueden tomar solo dos valores posibles: verdadero [true] o falso [false]). Estas funciones definen una salida como resultado de las combinaciones posibles de las entradas. La representación gráfica de cómo estas funciones se comportan en función de todas sus entradas es conocida como tabla de verdad.

En la tabla de verdad, cada fila representa un conjunto diferente de valores de entrada y la columna correspondiente a la salida muestra el resultado de la función lógica para esos valores de entrada. Las tablas de verdad son una herramienta valiosa en el diseño digital ya que permiten visualizar y analizar los posibles comportamientos de una función lógica. También son útiles para determinar las funciones equivalentes, simplificar expresiones y diseñar circuitos digitales.

En este punto y antes de desarrollar tablas de verdad con lógica booleana, es importante recordar la equivalencia entre los sistemas de numeración que se relacionan con la computación, misma que se muestra en la Tabla 1

Tabla 1

Equivalencia entre sistemas de numeración decimal, binario, octal y hexadecimal.

3.5.1. BCD (Binary-Coded Decimal)

El Código Binario Codificado por Dígito Decimal es un método de codificación en el que cada dígito decimal (0-9) se representa como un grupo de 4 bits. Es decir, cada dígito del sistema decimal se convierte a su equivalente binario. BCD es especialmente útil en la entrada y salida de números decimales, como cuando se registran datos de teclado o muestran información en displays. Aunque no es tan eficiente en términos de espacio que el código binario estándar para representar los mismos números, su simplicidad hace que sea una opción popular en sistemas donde la facilidad de lectura humana es más importante que el espacio de almacenamiento o la velocidad de procesamiento. La Tabla 2 muestra su equivalencia.

Tabla 2

Tabla BCD (0-9)

El Código Binario Codificado por Dígito Decimal es un método en el que cada dígito decimal (0-9) se representa como un grupo de 4 bits. Es decir, cada dígito del sistema decimal se convierte a su equivalente binario.

Ejemplo:

El número decimal 5 se representa en BCD como 0101.

El número decimal 23 se representaría como 0010 0011.

3.5.2. Función lógica.

Las funciones lógicas son fundamentales en la teoría del álgebra de Boole, que es una rama de la matemática utilizada ampliamente en el diseño y análisis de sistemas digitales. Estas funciones permiten representar decisiones y operaciones mediante valores booleanos (verdadero o falso), lo cual es esencial para el funcionamiento de los circuitos electrónicos y las computadoras. Las funciones lógicas son una parte integral del álgebra de Boole y se utilizan para expresar decisiones y operaciones en términos de entradas (variables) y salidas booleanas. Una función lógica puede ser definida como una relación entre variables de entrada que produce un resultado de salida, donde los valores posibles de las variables son generalmente verdadero o falso.

Una función lógica es una función matemática que toma como entrada variables booleanas (0 o 1) y produce una salida también booleana. Estas funciones se utilizan para modelar el comportamiento de circuitos digitales, donde los estados lógicos (0 y 1) representan dos posibles estados del sistema, como ejemplo sencillo considere un interruptor simple que puede estar encendido o apagado. Podemos representar el estado del interruptor con una variable booleana: 1 si está encendido y 0 si está apagado.

A. Operadores Lógicos

Los operadores lógicos son los símbolos que se utilizan para combinar las variables en funciones lógicas. Los tres primeros operadores lógicos básicos con sus respectivas tablas de verdad se revisaron previamente en la clase 5:

AND: (Conjunción): Representado por el símbolo ∧ o un punto (⋅). Produce 1 solo si todas las entradas son 1.

OR: (Disyunción): Representado por el símbolo ∨ o un signo más (+). Produce 1 si al menos una de las entradas es 1.

NOT: (Negación): Representado por el símbolo ¬, Invierte el valor de la entrada.

De manera complementaria a los operadores básicos previos incorporaremos, con sus respectivas tablas de verdad, los operadores:

NAND (No AND): Representado por ⊼. Produce 0 solo si todas las entradas son 1.

NOR (No OR): Representado por ⊽. Produce 1 solo si todas las entradas son 0.

XOR (OR Exclusivo): Representado por ⊕. Produce 1 solo si las entradas son diferentes.

XNOR (No OR Exclusivo): Representado por ⊙. Produce 1 solo si las entradas son iguales.

B. Tabla de verdad NAND:

La Tabla 3 muestra la tabla de verdad del operador NAND, dónde se puede apreciar que la salida es 0 solo si todas las entradas son 1.

Tabla 3

Tabla de verdad del operador NAND

Figura 1

Circuito integrado NTE74LS00.

Figura 2

DM74LS00 Quad 2-Input NAND Gate

C. Tabla de verdad NOR:

La Tabla 4 muestra la tabla de verdad del operador NOR, dónde se puede apreciar que la salida es 0 solo si todas las entradas son 1.

Tabla 4

Tabla de verdad del operador NOR

Las Figura 3 y Figura 4 muestran respectivamente el empaquetamiento comercial de este circuito integrado y su diagrama esquemático de conexiones

Figura 3

Circuito integrado NTE74LS02

Figura 4

DM74LS02Quad 2-Input NOR Gate.

Nota: Recuperado de (NTE Electronics, 2025b)

D. Tabla de verdad XOR:

La Tabla 5 muestra la tabla de verdad del operador XOR, dónde se puede apreciar que la salida es 1 solo si las entradas son diferentes.

Tabla 5

Tabla de verdad del operador XOR.

Las Figura 5 y Figura 6 muestran respectivamente el empaquetamiento comercial de este circuito integrado y su diagrama esquemático de conexiones

Figura 5

Circuito integrado NTE74LS86.

Figura 6

74LS86 Quad 2-Input Exclusive-OR Gate

E. Tabla de verdad XNOR:

La Tabla 6 muestra la tabla de verdad del operador XNOR, dónde se puede apreciar que la salida es 0 solo si las entradas son diferentes.

Tabla 6

Tabla de verdad del operador XNOR

Las Figura 7 y Figura 8 muestran respectivamente el empaquetamiento comercial de este circuito integrado y su diagrama esquemático de conexiones

Figura 7

Circuito integrado NTE74LS266.

Figura 8

DM74LS266 Quad 2-Input Exclusive-NOR Gate

Aprende más

El mercado ofrece una amplia variedad de compuertas lógicas que son usadas para diseñar los circuitos digitales, en este enlace puede profundizar acerca de tipos, diseño y aplicaciones de compuertas lógicas (Isaac et al., 2025). ¡Accede aquí!

3.3.3. Tablas de Verdad

Aunque las hemos venido usando informalmente para describir las tablas de verdad de los operadores lógicos, de manera formal una tabla de verdad es una representación matemática que muestra todos los posibles estados de entrada y sus correspondientes salidas para una función lógica específica. Cada fila en la tabla representa una combinación única de valores de entrada, y la columna final muestra el valor de salida resultante.

Así por ejemplo consideremos la tabla de verdad para la función F(A,B)=A∧(B∨¬A).

Tabla 7

Tabla de verdad para la función F(A,B)=A∧(B∨¬A).

Aquí se tienen dos variables binarias de entrada; A y B, por tanto para construir la tabla de verdad se deben considerar todas las posibles combinaciones de A y B, en este caso como son dos variables las combinaciones posibles son 2², es decir 4 y estas son 00, 01, 10 y 11, nótese que si se lee como números binarios corresponden a 0, 1, 2 y 3 en decimal, dato que nos servirá mas adelante para la simplificación gráfica de expresiones booleanas.

Las dos primeras columnas de la tabla de verdad muestran todas las combinaciones posibles de A y B, luego conforme a la función de ejemplo F(A,B)=A∧(B∨¬A), se debe obtener el valor de ¬A, por lo que la tercera columna muestra los valores de ¬A. La siguiente operación para respñver esta función es “B ∨ ¬A”, por lo que la cuarta columna muestra este contenido, y finalmente en la última columna se muestra el resultado de la operación de la función “A ∧ (B ∨ ¬A)”.

3.3.3.1. Simplificación de Funciones Lógicas

La simplificación de funciones lógicas es un proceso que busca reducir la complejidad de una función, utilizando leyes y teoremas booleanos, con el objetivo de obtener una expresión más eficiente. Esto puede resultar en circuitos digitales más sencillos y eficientes.

Para ello se deben tener presente las leyes y teoremas del algebra booleana revisados previamente en la clase previa.

Como ejemplo; si se tiene la función F(A,B,C)=A’B’C’ + AB’C’ + ABC’ + ABC.

Para facilitar la lectura de las variables negadas se está usando la sintaxis de incorporar un apóstrofe junto a las variables negadas, así; A’ corresponde a la negación de A o A negada.

Primero, agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos términos:

F = B’C’(A’ + A) + AB(C’ + C)

Dónde

(A’ + A) = 1

(C’ + C) = 1

Reemplazando

F = B’C’ + AB

La cual es una versión simplificada de la función original.

Para esta función simplificada elaboraremos la tabla de verdad, dado que tenemos tres variables de entrada A, B y C, entonces son posibles 2³ combinaciones, es decir 8; del 0 al 7 en decimal. A continuación construimos la tabla de verdad llenando la tabla de verdad de acuerdo a las operaciones booleanas que contemplan la función.

Tabla 8

Tabla de verdad de acuerdo a las operaciones booleanas que contemplan la función

De manera complementaria, esta función la podemos implementar en el simulador SimulIde (González et al., 2025) y comprobar el funcionamiento con todas las combinaciones de las variables de entrada.

Así, para la combinación 000 de las entradas ABC la salida debe ser 1, lo cual se valida en la Figura 9.

Figura 9

Combinación de entrada 000 para la función F = B’C’ + AB

Para la combinación 001 de las entradas ABC, conforme nuestra tabla de verdad desarrollada previamente, la salida debe ser 1, lo cual se valida en la Figura 10.

Figura 10

Combinación de entrada 001 para la función F = B’C’ + AB

Para profundizar sus conocimientos revise el documento de profundización de esta sesión dónde se muestran todas las combinaciones en la simulación “función1.sim1” para SimulIde y verifique que la salida d ela función es 1, para las combinaciones de Entrada ABC.

3.5.3. Minterm y Maxterm

En lógica booleana, los másterms y miniterms son conceptos fundamentales que se utilizan para representar funciones booleanas en términos de productos y sumas canónicas. Estos conceptos son esenciales para la simplificación y análisis de circuitos digitales.

A. Minterm

Es el producto lógico (AND) de todas las variables de una función, donde cada variable aparece una vez, ya sea en forma directa o complementada. Representa una combinación única de entradas que produce una salida 1. Para n variables booleanas, existen 2ⁿ miniterms posibles.

Por ejemplo, consideremos una función de dos variables booleanas, A y B:

Los miniterms posibles son: A’B’, A’B, AB’, AB.

un minterm se puede representar como m_i, donde i es el número en binario que corresponde a la combinación de valores de las variables.

Por ejemplo para una función de tres variables A,B,C:

Los miniterms posibles son:

m₀ = A’B’C’

m₁ = A’B’C

m₂ = A’BC’

m₃ = A’BC

m₄ = AB’C’

m₅ = AB’C

m₆ = AB’C’

m₇ = ABC

Debe tomarse en cuenta que cuando se expresa una función en base a los minterm, esta corresponden a la suma de minterms en cuya salida existe un uno lógico “1”.

Por ejemplo la función de minterm: {m0,m6,m7}, corresponderían a la tabla de verdad:

Tabla 9

Tabla de verdad función de minterm: {m0,m6,m7}

F = {m0,m6,m7}

Lo cual es equivalente a:

F= A’B’C’+ABC’+ABC

B. Maxterm

Por otro lado los maxterm son el resultado de la suma lógica (OR) de todas las variables de una función, donde cada variable aparece una vez, ya sea en forma directa o complementada. Representa una combinación única de entradas que produce una salida 0. Para n variables booleanas, existen 2ⁿ maxterm posibles.

Siguiendo el ejemplo anterior con dos variables booleanas A y B:

Los maxterm posibles son: (A’ + B’),(A’ + B), (A + B’), (A + B)

Un maxterm se puede representar como M_i, donde i es el número en binario que corresponde a la combinación de valores de las variables.

Por ejemplo para una función de tres variables A,B,C los maxterm posibles son:

M₀ = A + B + C

M₁ = A + B + C'

M₂ = A + B' + C

M₃ = A + B' + C'

M₄ = A' + B + C

M₅ = A' + B + C'

M₆ = A' + B' + C

M₇ = A' + B' + C'

En base al ejemplo previo de la función expresada en minterm, su equivalente en maxterm sería:

F = {M1, M2, M3, M4, M5}

Nótese que los maxterm de una funcion corresponden al producto de las sumas cuyas salidas sean cero lógico “0”, es decir en este caso:

F=(A+B+C')(A+B'+C)(A+B'+C')(A'+B+C)(A'+B+C')

Profundiza más

Este recurso te ayudará a enfatizar sobre Simulación de circuitos digitales combinacionales en SimulIDE ¡Accede aquí!

Funcion1 ¡Accede aquí!

Los Mapas de Karnaugh (también conocidos como mapas K) son una herramienta útil en el diseño simplificado de circuitos lógicos digitales. Proporcionan una forma visual para minimizar expresiones booleanas, facilitando la implementación de funciones lógicas mediante compuertas electrónicas.

Fue enunciado en 1952 po E.W. Veitch y modificado, presentando la forma actual del mapa, por el ingeniero de IBM Maurice Karnaugh en 1953

3.6.1. Código Gray

El código Gray (o código reflejado binario) es un sistema de numeración binario en el que dos números consecutivos difieren en un solo bit (dígito binario). Esta característica lo hace especialmente útil en aplicaciones donde los cambios simultáneos de múltiples bits pueden generar errores, como en sistemas electrónicos, sensores rotatorios, y mapas de Karnaugh (donde se usa para organizar las variables).

En el código Gray, al pasar de un número al siguiente, solo un bit cambia de valor. Por ejemplo, en una secuencia de 3 bits:

Decimal 0 → 1: 000 → 001 (cambia el último bit).

Decimal 1 → 3: 001 → 011 (cambia el segundo bit).

Esto evita errores en sistemas donde múltiples bits no pueden actualizarse al mismo tiempo.

A diferencia del binario estándar, los bits en el código Gray no representan valores posicionales (como 1, 2, 4, 8...). Su valor se define por su secuencia única, la cual se construye "reflejando" los bits anteriores y cambiando el valor de un solo bit.

En los Mapas de Karnaugh las variables en los K-maps se ordenan siguiendo el código Gray para garantizar que las celdas adyacentes sean lógicamente contiguas (solo difieran en una variable). Esto permite agrupar términos simplificados.

Los mapas de Karnaugh (K-map) son una técnica gráfica para simplificar expresiones booleanas, esencial en el diseño de circuitos digitales. Su estructura se basa en una representación tabular donde cada celda corresponde a una combinación única de variables de entrada, organizadas de manera que celdas adyacentes difieran en un solo bit (código Gray). Esta disposición permite identificar visualmente términos lógicos que pueden combinarse para reducir la expresión final.

3.6.2. Características:

Los mapas de Karnaugh permiten:

Visualización de Combinaciones: Representa todas las posibles combinaciones de entrada en una cuadrícula.

Identificación de agrupamientos: Permite identificar grupos de celdas adyacentes con valores idénticos, lo que facilita la simplificación.

Minimización de términos: Ayuda a reducir el número de términos y variables en una expresión booleana.

3.6.3 Metodología para usar los mapas de Karnaugh

A. Identificación de Variables:

Primero se debe determinar cuántas variables lógicas tiene la función booleana. Dependiendo del número de variables, se construirá un mapa de Karnaugh que tendrá el mismo número de celdas que minterms o maxterms posibles.

B. Construcción del Mapa:

Para funciones con dos variables, el mapa será una matriz 2x2.

Para tres variables, se utiliza un mapa 2x4.

Para cuatro variables, se usa un mapa 4x4.

C. Etiquetado de las Casillas:

Las casillas del mapa representan todas las combinaciones posibles de los valores lógicos (0 y 1) de las variables. Estas combinaciones se distribuyen de manera que los adyacentes solo difieran en una variable.

D. Inserción de Valores:

Se coloca un '1' en las casillas correspondientes a las combinaciones de entradas que hacen que la salida de la función sea 1. Si el resultado es 0, se puede dejar en blanco o marcar con un cero.

E. Agrupación de Celdas:

A continuación se deben agrupar las casillas contiguas que contienen '1'. Las reglas para agrupar son:

Las agrupaciones deben ser potencias de dos (1, 2, 4, 8, etc.).

Las agrupaciones pueden envolver cualquier número de dimensiones del mapa.

Los grupos pueden superponerse y cada '1' puede formar parte de más de un grupo.

F. Identificación de Patrones:

Al identificar los patrones o grupos, se reducen las variables lógicas en la expresión final. Por ejemplo, si dos celdas adyacentes contienen '1', entonces una variable es irrelevante para esa parte de la función.

G. Simplificación de la Expresión:

Para cada grupo identificado, se simplifica eliminando las variables que varían dentro del grupo.

La expresión final será la suma (OR lógico) de las expresiones simplificadas de cada grupo.

La Figura 1 muestra un mapa de Karnaugh para dos variables (a,b) que ha sido llenado con los mimterm de la función f(a,b), cuya tabla de verdad se muestra en la Tabla 1, dónde se puede observar a la izquierda de la diagonal la variable a y en vertical sus valores 0 y 1, mientras que a la derecha de la diagonal se tiene la variable b con sus valores 0 y 1 en horizontal. La proyección de los valores de las variables identifican la celda del mapa de Karnaugh, así en la esquina superior izquierda se proyectan el 0 de a y el 0 de b, por lo que esa celda es 00, mientras que en la equina inferior derecha se proyectan los valores 1 de a y 1 de b, por lo la celda es 11. Por lo general la identificación de las celdas se las realiza en decimal. Nótese además que el subíndice de los minterms corresponde al valor de la celda, lo que facilitará su llenado.

Tabla 1

Tabla de verdad de la función f(a,b)

Figura 1

Mapa de karnaugh para las variables a,b.

La Figura 2 muestra un mapa de Karnaugh para tres variables (a,b,c) que ha sido llenado con los mimterm de la función f(a,b,c), cuya tabla de verdad se muestra en la Tabla 2, dónde se puede observar a la izquierda de la diagonal la variable a y en vertical sus valores 0 y 1, mientras que a la derecha de la diagonal se tiene las variables bc con sus valores 00, 10, 11 y 10 en horizontal. La proyección de los valores de las variables identifican la celda del mapa de Karnaugh, así en la esquina superior izquierda se proyectan el 0 de a, el 0 de b y el 0 de c por lo que esa celda es 000, mientras que en la equina inferior derecha se proyectan los valores 1 de a, 1 de b y 0 de c, por lo la celda es 110. Por lo general la identificación de las celdas se las realiza en decimal. Nótese además que el subíndice de los minterms corresponde al valor de la celda, lo que facilitará su llenado.

Tabla 2

Tabla de verdad de la función f(a,b,c)

Figura 2

Mapa de karnaugh para las variables a,b,c.

Tabla 3

Tabla de verdad de la función f(a,b,c,d)

La Figura 3 muestra un mapa de Karnaugh para cuatro variables (a,b,c,d) que ha sido llenado con los mimterm de la función f(a,b,c), cuya tabla de verdad se muestra en la Tabla 3, dónde se puede observar a la izquierda de la diagonal la variable ab y en vertical sus valores 00, 01, 11 y 10, mientras que a la derecha de la diagonal se tiene las variables cd con sus valores 00, 10, 11 y 10 en horizontal. La proyección de los valores de las variables identifican la celda del mapa de Karnaugh, así en la esquina superior izquierda se proyectan el 0 de a, el 0 de b, el 0 de c y el 0 de d por lo que esa celda es 0000, mientras que en la equina inferior derecha se proyectan los valores 1 de a, 0 de b, 1 de c y 0 de d, por lo la celda es 1010. Por lo general la identificación de las celdas se las realiza en decimal. Nótese además que el subíndice de los minterms corresponde al valor de la celda, lo que facilitará su llenado.

Figura 3

Mapa de karnaugh para las variables a,b,c,d