El dominio de una integral doble es un concepto fundamental en el cálculo de funciones de varias variables, especialmente en coordenadas cartesianas. Este tema es abordado en detalle en los textos Cálculo Diferencial e Integral, Tomo I de N. Piskunov (1977) y Cálculo de Thomas G.B (2010), donde se explica cómo determinar las regiones de integración y sus límites correspondientes.

5.1.1 Definición del dominio

El dominio de una integral doble, denotado como D, es una región en el plano xy sobre la cual se evalúa la integral. Matemáticamente, una integral doble se expresa como:

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_a^b\left[{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}f(x,y)dy \right]dx$

 

donde f(x,y) es una función definida en D y dA representa un elemento infinitesimal de área, que se puede reemplazar por el área de un rectángulo infinitesimal dxdy . El dominio D puede tener diversas formas, desde simples rectángulos hasta regiones delimitadas por curvas más complejas.

5.1.2 Representación del dominio

Para comprender el dominio de integración, es crucial representarlo gráficamente en el plano xy. En coordenadas cartesianas, D se describe mediante desigualdades que determinan los límites de x y y. Por ejemplo, si D es un rectángulo, sus límites se expresan como:

a≤x≤b, c≤y≤d,

donde a,b,c,d son constantes. Si D está delimitado por curvas, los límites pueden depender de x o y, como en:

g1(x)≤y≤g2(x),

En este caso, g1(x) y g2(x) son funciones continuas que describen las fronteras superior e inferior de D.

 

5.1.3 Determinación de límites

El cálculo de una integral doble requiere identificar correctamente los límites de xx y yy. Este proceso depende de la forma geométrica de RR:

Región rectangular: Los límites de xy son constantes y la integral se descompone en dos integrales iteradas:

a ≤ x ≤ bc ≤ y ≤ d

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_a^b\left[{\int }_c^{d}f(x,y)dy \right]dx$

 

Región general: Cuando D está definido por curvas, los límites de una variable dependen de la otra. Por ejemplo:

Cuando los límites en x son constantes y los de y son funciones de x

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_a^b\left[{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}f(x,y)dy \right]dx$

En este caso, la integración iterada primero considera y, variando entre g1(x) y g2(x), y luego x, variando entre a y b

Cuando los límites en y son constante y en x son funciones de y

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_c^d\left[{\int }_{h1\left(y\right)}^{h2\left(y\right)}f(x,y)dx \right]dy$

En este caso, la integración iterada primero considera x, variando entre h1(y) y h2(y), y luego y, variando entre c y d.

5.1.4 Representación gráfica y análisis visual

La representación gráfica del dominio es esencial para visualizar el problema. Esta representación facilita la comprensión del orden de integración y asegura que los límites se establezcan correctamente. Además, permite identificar simetrías o simplificaciones.

Cuando D tiene formas más complejas, como regiones delimitadas por círculos o elipses, es útil dividir D en subregiones más simples. Alternativamente, se pueden usar coordenadas polares para simplificar los límites y el cálculo de la integral.

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1:

Graficar y determinar los límites de integración para la integral ${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA$, donde el dominio de integración D está limitado por las rectas x=2, x=3, y=-1, y=5

Solución:

Graficamos las rectas que delimitan el dominio. El resultado es el rectángulo, intersección de las dos zonas delimitadas por x entre 2 y 3, mientras que y entre -1 y 5.

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Se puede visualizar que tanto x, como y son constantes, por lo que los límites de integración quedarían como:

2 ≤ x ≤ 3-1≤ y ≤ 5

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_2^3\left[{\int }_{-1}^{5}f(x,y)dy\right] dx$

Ejemplo 2:

Graficar y determinar los límites de integración para la integral ${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA$, donde el dominio de integración D está limitado por y=0, y=1-x²

Solución:

Primero debemos encontrar los puntos comunes o de corte entre y=0, y=1-x², es indispensable para conocer entre que valores se delimita x.

Igualamos y=0, y=1-x²

0=1- x²

x=±1, entonces x varía entre -1 y 1

Graficamos las curvas que delimitan el dominio. El resultado es la intersección de las dos zonas delimitadas por y, entre y=0 y y=1-x².

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Como se determinó que el menor valor de x es a=-1 y el valor mayor es b=1, se puede visualizar que el menor valor de y es g1(x)=0 y g2(x)= 1-x², por lo que los límites de integración quedarían como:

-1 ≤ x ≤ 10≤ y ≤ 1-x²

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_{-1}^1\left[{\int }_0^{1-x2 }f(x,y)dy \right]dx$

Ejemplo 3:

Graficar y determinar los límites de integración para la integral ${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA$, donde el dominio de integración D está limitado por x² +y²=2²

Solución:

Primero debemos encontrar los valores mínimo y máximo que puede tomar x, es indispensable para conocer entre que valores se delimita x.

Reemplazamos el valor de y=0, para tener la ecuación únicamente valores de x.

x² +0²=2²

0=4- x²

x=±2, entonces x varía entre -2 y 2

Graficamos la curva x² +y²=2² que delimitan el dominio, su resultado es un círculo de radio 2, delimitadas por x entre 2 y 3, mientras que y entre y=- (2²- x²)^1/2, y= (2²- x²)^1/2

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Como se puede observar que el menor valor de x es a=-2 y el valor mayor es b=2. El semicírculo inferior, que corresponde al menor valor de y, es g1(x)= - (2²- x²)^1/2, y el valor mayor de y es g2(x)= (2²- x²)^1/2. Por tanto, los límites de integración quedarían como:

-2 ≤ x ≤ 2- (2²- x²)^1/2 ≤ y ≤ (2²- x²)^1/2

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_{-2}^2\left[{\int }_{- (2^2- x^2)1/2 }^{ (2^2- x^2)1/2 }f(x,y)dy \right]dx$

 

Ejemplo 4:

Graficar y determinar los límites de integración para la integral ${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA$, donde el dominio de integración D está limitado por y=2/ (1+x²), y=x²

Solución:

Primero debemos encontrar los puntos comunes o de corte entre y=2/ (1+x²), y=x², es indispensable para conocer entre que valores se delimita x.

Igualamos y=2/ (1+x²), y=x²

2/ (1+x²) =x²

0=(x²+2) (x²-1)

(x²+2) =0 tiene como resultado raíces imaginarias, (x²-1) =0 tiene como resultado raíces reales.

x=±1, entonces x varía entre – 1 y 1

Graficamos las curvas y=2/ (1+x²), y=x² que delimitan el dominio, su resultado es un gráfico delimitadas por x entre -1 y 1, mientras que y entre y=2/ (1+x²), y=x²

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Como se puede observar que el menor valor de x es a=-1 y el valor mayor es b=1, el semicírculo inferior que corresponde al menor valor de y es g1(x)= x², y el valor mayor de y es g2(x)= 2/ (1+x² ) . Por lo tanto, los límites de integración quedarían como:

-1 ≤ x ≤ 1x² ≤ y ≤ 2/ (1+x² )

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_{-1}^1\left[{\int }_{ x^2 }^{2/ (1+ x^2) }f(x,y)dy \right]dx$

 

 

La división del dominio en una integral doble es un concepto clave en el cálculo de integrales de funciones de dos variables. Este proceso permite descomponer un dominio complicado en subdominios más simples, facilitando la evaluación de la integral doble.

5.2.1 Definición y contexto

Un dominio complicado puede ser representado por una fórmula matemática que describe las restricciones sobre las variables de integración. Sin embargo, en muchos casos prácticos, el dominio de integración no es tan sencillo de manejar y requiere una división en subdominios que sean más fáciles de analizar. Esta técnica es particularmente útil cuando el dominio está compuesto por varias regiones no contiguas o cuando las ecuaciones que definen los límites de integración son complicadas, basándonos en los textos de N. Piskunov (1977) y Thomas G.B. (2010).

5.2.2 Estrategias para la división del dominio

La división del dominio consiste en descomponer una región D en subregiones más simples, de forma que cada subregión sea fácilmente integrable. Este proceso permite aplicar la integral doble en partes más manejables, donde cada subdominio tiene sus propios límites de integración. Dependiendo de la forma y la naturaleza del dominio D, se pueden emplear diversas estrategias de división.

5.2.3 Representación gráfica de la división

Para ilustrar la división del dominio, se considera un ejemplo donde se busca integrar la función f(x,y) sobre una región que está limitada por las rectas y curva: y=x+4, y=-x+6, y=x². La forma del dominio D no es un rectángulo. La figura delimitada por las recta y curva tienen un valor menor de formado por y=x² , y dos valores mayores de y formados por las rectas y=x+4, y=-x+6, lo que dificulta la aplicación directa de la integral doble.

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

Para abordar este caso, se podría dividir el dominio en dos subdominios más simples. El primer subdominio D1, sería la región entre las curvas y=x+4, y=x² en el intervalo [-1.56, 1] en el eje x, y el segundo subdominio D2 correspondería a la región entre las curvas y=x+4, y=x² en el intervalo [1,2]. De este modo, la integral doble se descompone en dos integrales más simples, que pueden ser evaluadas por separado.

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

5.2.4 Cálculo de la integral en subdominios

Una vez que el dominio ha sido dividido en subdominios D1 y D2, el siguiente paso es expresar la integral doble como la suma de las integrales sobre cada subdominio. Cada subdominio tiene sus propios límites de integración, lo que permite una evaluación más eficiente. El primer paso es encontrar los puntos de corte entre las rectas y las rectas con la curva.

Igualando las dos rectas y=x+4 con y=-x+6, se obtiene el punto de corte (1,5)

Igualando la recta y=x+4 con la curva y= x², se obtiene el punto de corte izquierdo (-1.56, 2.44)

Igualando la recta y=-x+6 con la curva y= x², se obtiene el punto de corte derecho (2, 4)

El primer subdominio D1: x varía entre -1,56 y 1, mientras que y varía entre la curva inferior y= x² con la recta superior y=x+4.

-1.56 ≤ x ≤ 1x² ≤ y ≤ x +4

${\iint }_{D1}^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_{-1.56}^1\left[{\int }_{ x^2 }^{x+4 }f(x,y)dy \right]dx$

El segundo subdominio D2: x varía entre 1 y 2, mientras que y varía entre la curva inferior y= x² con la recta superior y=-x+6

1≤ x ≤ 2x² ≤ y ≤ -x +6

${\iint }_{D2}^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_1^2\left[{\int }_{ x^2 }^{-x+6 }f(x,y)dy \right]dx$

 

La integral doble total se obtiene sumando las dos integrales:

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\iint }_{D1}^{}f\left(x,y\right)dA+{\iint }_{D2}^{}f\left(x,y\right)dA$

${\iint }_{D2}^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_{-1.56}^1\left[{\int }_{ x^2 }^{x+4 }f(x,y)dy \right]dx+{\int }_1^2\left[{\int }_{ x^2 }^{-x+6 }f(x,y)dy \right]dx$

Este procedimiento de división permite calcular la integral en subdominios más simples, lo que facilita su evaluación.

 

5.2.5 Conclusión

La división del dominio es una técnica esencial en el cálculo de integrales dobles, que permite abordar dominios complejos de manera más eficiente. Al dividir un dominio en subdominios más simples, el proceso de integración se simplifica, permitiendo evaluaciones más claras y menos propensas a errores. Esta estrategia resulta especialmente útil en aplicaciones prácticas, donde los dominios de integración no suelen tener formas sencillas, o cuando existen restricciones geométricas complejas, como se observa en el caso presentado.

Ejemplo 5.

Si el dominio de integración D es el área entre dos semicírculos concéntricos con su centro en (0,0) de radios R1 y R2, en el que R1 > R2.

• El semiçírculo de radio R1 tiene por ecuación $y=+\sqrt{{R1}^2-x^2}$

La variable x, varía desde -R1 a R1, entonces -R1≤ x ≤ R1

La variable y, varía desde 0 a $\sqrt{{R1}^2-x^2}$, entonces 0≤ y ≤ $+\sqrt{{R1}^2-x^2}$

• El semiçírculo de radio R2 tiene por ecuación $y=+\sqrt{{R2}^2-x^2}$

La variable x, varía desde -R2 a R2, entonces -R2≤ x ≤ R2

La variable y, varía desde 0 a $\sqrt{{R2}^2-x^2}$, entonces 0≤ y ≤ $+\sqrt{{R2}^2-x^2}$

Pero como el dominio D es el área entre los dos semicírculos, se puede describir de la siguiente manera:

En la región negativa de x, el área varía desde -R1 a -R2, entonces -R1≤ x ≤ -R2

En la región positiva de x, el área varía desde R2 a R1, entonces R2≤ x ≤ R1

En la región positiva de y, el área varía desde $\sqrt{{R2}^2-x^2}$ a $\sqrt{{R1}^2-x^2}$, entonces

$\sqrt{{R2}^2-x^2}$ ≤ y ≤ $\sqrt{{R1}^2-x^2}$

El dominio D tiene un único intervalo en y, sin embargo, en el eje x no se puede describir en un único intervalo de x, entonces se hace indispensable subdividir el dominio en dos partes, la primera en la región negativa de x, la segunda en la región positiva de x.

$\underset{D}{\overset{}{\iint }}f\left(x,y\right)dx={\int }_{-R1}^{-R2}[{\int }_{\sqrt{{R2}^2-x^2}}^{\sqrt{{R1}^2-x^2}}f\left(x,y\right)dy]dx+{\int }_{R2}^{R1}[{\int }_{\sqrt{{R2}^2-x^2}}^{\sqrt{{R1}^2-x^2}}f\left(x,y\right)dy]dx$

 

Consideraciones adicionales en la división del dominio

La elección de la división del dominio debe hacerse cuidadosamente, considerando la geometría del dominio y la forma de la función f(x, y). Si el dominio presenta simetría, la división en subdominios puede aprovechar dicha simetría para simplificar aún más los cálculos. Además, una correcta elección de las particiones del dominio garantiza que los límites de integración sean manejables, evitando errores y facilitando la interpretación geométrica de la integral.

El orden de los límites de integración en una integral doble es un aspecto fundamental que influye directamente en cómo se evalúan las integrales de funciones de dos variables. Como menciona Piskunov (1977), elegir correctamente este orden depende de una delimitación adecuada del dominio y de cómo interpretamos geométricamente las funciones que lo definen. Es decir, hay que visualizar claramente el área en cuestión, analizar sus características y decidir si resulta más conveniente integrar primero con respecto a x o a y.

Por su parte, Thomas (2010) destaca que analizar a fondo las constantes y funciones que establecen estos límites no solo simplifica el proceso de cálculo, sino que también reduce significativamente la posibilidad de cometer errores, especialmente cuando trabajamos con dominios más complejos. Ambos autores coinciden en algo clave: seleccionar el orden correcto no solo facilita los cálculos, sino que también mejora la interpretación geométrica del problema. Además, insisten en que esta decisión debe ajustarse a la disposición del dominio y a la complejidad de las funciones límite, ya que estos factores impactan directamente en la resolución práctica de problemas, especialmente en áreas como la física, la ingeniería y otras disciplinas científicas.

 

6.1.1 Definición del problema

En la evaluación de una integral doble, los límites de integración se especifican en relación con el orden en el que se realiza la integración. Para una integral doble general de la forma:

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_a^b\left[{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)} f\right(x,y\left)dy\right]dx$

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Se puede observar que primero se realiza la integración respecto a la variable y, y luego respecto a x, lo que indica la jerarquía de los corchetes.

Sin embargo, en algunos casos, puede ser conveniente cambiar este orden y realizar primero la integración respecto a x, lo que lleva a una expresión de la forma:

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_c^d\left[{\int }_{h1\left(y\right)}^{h2\left(y\right)} f\right(x,y\left)dx\right]dy$

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

Se puede observar que primero se realiza la integración respecto a la variable x, y luego respecto a y, separación que indica el corchete.

En ambos casos, el orden de integración no altera el resultado numérico final de la integral. Sin embargo, elegir el orden adecuado es esencial, ya que en muchos casos una de las variables permite una integración más sencilla que la otra. Por tanto, el orden no debe elegirse al azar, sino mediante un criterio que facilite la resolución analítica.

 

6.1.2 Relación entre las funciones delimitantes y los límites de integración

El proceso de determinación de los límites de integración comienza con la descripción del dominio D y las funciones que lo delimitan. Para ilustrar este proceso, considere un dominio D en el plano xy delimitado por dos curvas y=g1(x) inferior, y=g2(x) superior, que dependen de la variable x.

D={(x,y)/ a≤x≤b, g1(x) ≤y≤ g2(x)}

Además, debemos tomar en cuenta que x=h1(y) izquierda, x=h2(y) derecha, tienen como origen las funciones y=f1(x), y=f2(x). El dominio se describe como la región comprendida entre estas dos curvas para un intervalo x∈[a,b] o y∈[c,d], lo que se expresa como:

D={(x,y)/ c≤y≤d, h1(y) ≤y≤ h2(y)}

El dominio D puede ser más complejo, con funciones delimitantes que dependen de x y de y, y puede involucrar diferentes restricciones geométricas. Dependiendo de la naturaleza del dominio, el orden de integración puede cambiar para simplificar los cálculos.

6.1.3 Importancia de la correcta elección del orden de integración

Elegir correctamente el orden de integración es fundamental para simplificar el proceso de evaluación. Si el orden se ajusta a la geometría del dominio y a la naturaleza de las funciones que lo delimitan, los cálculos serán más eficientes y menos propensos a errores. Además, una elección adecuada puede aprovechar simetrías en el dominio y reducir significativamente la carga de trabajo.

En resumen, la determinación de los límites de integración está íntimamente ligada a la geometría del dominio y a las funciones que lo delimitan. Al elegir el orden de integración correcto, los cálculos se simplifican y la integral puede evaluarse de manera más eficiente. La elección del orden adecuado debe basarse en el análisis detallado del dominio y de las funciones involucradas.

Cuando hablamos del cambio de orden en los límites de integración de una integral doble, nos referimos a un procedimiento esencial que permite simplificar los cálculos, especialmente cuando la geometría del dominio de integración hace que un orden sea más adecuado que otro. Según N. Piskunov (1977), este proceso ofrece la flexibilidad de modificar el orden de integración sin alterar el valor final de la integral, siempre que los nuevos límites de integración se ajusten correctamente.

Thomas G.B. (2010) destaca que para dominar el cambio de orden es necesario analizar cuidadosamente cómo está definido el dominio de integración. Aquí entra en juego algo crucial: comprender cómo la forma y disposición del dominio afectan la elección del orden. Ambos autores, Piskunov y Thomas, coinciden en algo fundamental: cambiar el orden de integración no solo simplifica los cálculos, sino que nos permite interpretar de manera geométrica lo que está ocurriendo en el dominio y en las funciones que lo delimitan. Cambiar el orden de integración puede ser la clave para hacer que los límites sean más manejables, lo que a su vez hace que los cálculos sean más directos y menos propensos a errores. Piskunov (1977) enfatiza que este cambio no debe realizarse de forma arbitraria, sino sobre la base de una comprensión sólida de la geometría del dominio. Por su parte, Thomas (2010) subraya que visualizar el área o volumen asociado al dominio de integración es clave para establecer correctamente los nuevos límites.

 

6.2.1 Definición y motivación del cambio de orden de integración

El cambio de orden de integración puede llevarse a cabo si las funciones delimitantes del dominio D pueden ser expresadas de una manera diferente. Al cambiar el orden de integración, se obtiene una nueva formulación de la integral:

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_c^d\left[{\int }_{h1\left(y\right)}^{h2\left(y\right)} f\right(x,y\left)dx\right]dy$

En esta nueva representación, primero se realiza la integración respecto a x y luego respecto a y. Los nuevos límites h1(y) y h2(y) reflejan la relación inversa entre x y y, y describen cómo se modifican los límites de integración cuando se cambia el orden.

6.2.2 Condiciones necesarias para realizar el cambio de orden de integración

Para que el cambio de orden de integración sea válido y efectivo, deben cumplirse ciertas condiciones. Estas condiciones son principalmente geométricas y dependen de la forma y las características del dominio de integración. Si el dominio es complejo o tiene límites no convencionales, es esencial comprender cómo sus fronteras afectan a los límites de integración en cada orden.

6.2.3 El dominio debe ser bien definido

El dominio de integración debe ser rectificable o, en términos simples, debe ser un área bien definida que esté delimitada por funciones que puedan expresarse de manera continua. En otras palabras, debe existir una descripción clara de los límites de integración en términos de las funciones que definen las fronteras del dominio.

6.2.4 Funciones delimitantes del dominio

Para cambiar el orden de integración, es necesario identificar cómo las funciones g1(x) y g2(x) pueden expresarse en términos de y. Esto requiere despejar x en las ecuaciones que describen las curvas, lo cual puede implicar hallar las intersecciones entre ellas

6.2.5 Identificación de los puntos de intersección

Al cambiar el orden de integración, es crucial identificar los puntos de intersección de las curvas que delimitan el dominio. Estos puntos determinan los nuevos límites de integración y ayudan a definir la nueva región sobre la que se integra. En casos donde el dominio está formado por varias curvas que se intersecan, es necesario determinar con precisión estos puntos de intersección para evitar errores al establecer los límites.

 

6.2.6 Ejemplos de cambio de orden de integración

Ejemplo 1:

Graficar el dominio e invertir el orden de integración en la integral:

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_0^1\left[{\int }_{x^3}^{\sqrt{x}} f\right(x,y\left)dy\right]dx$

Solución:

El dominio D se encuentra delimitado por: x=0, x=1, y=0, y=x³, y=$\sqrt{x}$.

Graficamos las curvas que delimitan el dominio. El resultado es la región de intersección entre las curvas inferior y=g1(x)=x³, superior y=g2(x)=$\sqrt{x}$.

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

 

Para invertir el orden de integración necesitamos obtener h1(y), h2(y) de tal manera que los límites de integración quedarían como:

c ≤ y ≤ dh1(y)≤ x ≤ h2(y)

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_c^{d}f(x,y)\left[{\int }_{h1\left(y\right)}^{h2\left(y\right)}f\right(x,y\left)dx\right]dy$

Por encontrar los puntos de corte entre las curvas del dominio:

Igualamos las curvas y=x³, y=$\sqrt{x}$

x³=$\sqrt{x}$

$\sqrt{x}\left(x^{\frac{5}{2}}-1\right)=0$, igualamos a 0 para encontrar las raíces.

x=0, x=1, cuyos valores correspondientes en el eje y serían y=0, y=1.

Despejamos la variable x de y=x³, el resultado es x=$\sqrt[3]{y}$, en adelante es h2(y) porque se encuentra a la derecha en el eje x.

Despejamos la variable x de y=$\sqrt{x}$, el resultado es x=$y^2$, en adelante es h1(y) porque se encuentra a la izquierda en el eje x.

Los límites de integración quedarían como:

0 ≤ y ≤ 1$y^2$≤ x ≤ $\sqrt[3]{y}$

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_0^{1}f(x,y)\left[{\int }_{y^2}^{\sqrt[3]{y}}f\right(x,y\left)dx\right]dy$

 

Ejemplo 2:

Graficar el dominio e invertir el orden de integración en la integral:

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_{-1}^1\left[{\int }_0^{\sqrt{1-x^2}} f\right(x,y\left)dy\right]dx$

Solución:

El dominio D se encuentra delimitado por: x=-1, x=1, y=0, y=0, y=$\sqrt{1-x^2}$.

Graficamos las curvas que delimitan el dominio, su resultado es la región de intersección entre las curvas inferior y=g1(x)=0, superior y=g2(x)=$\sqrt{1-x^2}$.

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

 

Para invertir el orden de integración necesitamos obtener h1(y), h2(y) de tal manera que los límites de integración quedarían como:

c ≤ y ≤ dh1(y)≤ x ≤ h2(y)

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_c^{d}f(x,y)\left[{\int }_{h1\left(y\right)}^{h2\left(y\right)}f\right(x,y\left)dx\right]dy$

Por encontrar los puntos de corte entre las curvas del dominio:

Igualamos las curvas y=0, y=$\sqrt{1-x^2}$

0=$\sqrt{1-x^2}$

$\left(x^2-1\right)=0$, igualamos a 0 para encontrar las raíces.

x=-1, x=1, cuyos valores correspondientes en el eje y serían y=0, y=1.

Despejamos la variable x de y=$\sqrt{1-x^2}$, el resultado es x=$\pm \sqrt{1-y^2}$, en adelante es h2(y) sería la raíz que lleva signo positivo porque se encuentra a la derecha en el eje x.

En adelante es h1(y) sería la raíz que lleva signo negativo porque se encuentra a la izquierda en el eje x.

Los límites de integración quedarían como:

0 ≤ y ≤ 1$-\sqrt{1-y^2}$≤ x ≤ $\sqrt{1-y^2}$

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_0^{1}f(x,y)\left[{\int }_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}f\right(x,y\left)dx\right]dy$

Ejemplo 3:

Graficar el dominio e invertir el orden de integración en la integral:

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_0^1\left[{\int }_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y} f\right(x,y\left)dx\right]dy$

Solución:

El dominio D se encuentra delimitado por y=0, y=1, x=$-\sqrt{1-y^2}$, x=1-y.

Graficamos las curvas que delimitan el dominio, su resultado es la región de intersección entre las curvas izquierda x=$-\sqrt{1-y^2}$, derecha x=1-y.

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Para invertir, a diferencia de los dos ejemplos anteriores, para determinar el orden de integración necesitamos obtener g1(x), g2(x) de tal manera que los límites de integración quedarían como:

a≤ x ≤ bg1(x)≤ x ≤ g2(x)

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_a^{b}f(x,y)\left[{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}f\right(x,y\left)dy\right]dx$

Por encontrar los puntos de corte entre las curvas del dominio:

Igualamos las curvas x=$-\sqrt{1-y^2}$, x=1-y.

$-\sqrt{1-y^2}$ =1-y

$2y\left(y-1\right)=0$, igualamos a 0 para encontrar las raíces.

y=0, y=1, cuyos valores correspondientes en el eje x se obtienen igualando y=0 con

x=$-\sqrt{1-y^2}$, x=1-y.

serían x=-1, x=1

En el dominio general se puede observar que existen dos curvas superiores g(x) y una inferior. Se hace necesario partir el dominio D en dos subdominios D1 y D2.

Para determinar D1, despejamos la variable y de x=$-\sqrt{1-y^2}$, el resultado es y=$\pm \sqrt{1-x^2}$, como y se encuentra entre y=0, y=1 en adelante es y=g2(x) con la raíz positiva y se encuentra arriba de y=0.

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

Para determinar D2, despejamos la variable y de x=1-y, el resultado es y=1-x, como y se encuentra entre y=0, y=1 en adelante es y=g2(x) porque se encuentra arriba de y=0.

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematics

 

Los límites de integración quedarían como:

-1 ≤ x ≤ 00≤ y ≤ $\sqrt{1-x^2}$0 ≤ x ≤ 10≤ y ≤ 1-x

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_{-1}^{0}f(x,y)\left[{\int }_0^{\sqrt{1-x^2}}f\left(x,y\right)dy\right]dx+{\int }_0^{1}f(x,y)\left[{\int }_0^{1-x}f\right(x,y\left)dy\right]dx$

 

 

Importancia práctica del cambio de orden de integración

El cambio de orden de integración no solo es un procedimiento algebraico, sino también un proceso geométrico, que involucra la reinterpretación del dominio de integración. Al intercambiar el orden de integración, se debe visualizar cómo las áreas o volúmenes que se están integrando se reorganizan. Esta técnica no solo ayuda a simplificar la resolución de integrales, sino que también permite aprovechar ciertas características de la función o del dominio que pueden no ser evidentes de inmediato.

 

En la práctica, muchos problemas de cálculo integral pueden resolverse de manera más eficiente mediante el cambio de orden, especialmente cuando el dominio tiene una forma no rectangular o cuando la función f(x,y) presenta dificultades al ser integrada en uno de los órdenes.

 

El cambio de orden de integración nos puede llevar a tener más de una función y =f(x) superior o inferior, o más de una función x=f(y) a la izquierda y derecha, lo que nos llevaría a subdividir el dominio D en el que cada subdominio son los límites en más de una integral de la misma función f(x,y).