Las derivadas parciales representan un concepto central en el cálculo multivariable, siendo esenciales para entender cómo varía una función de varias variables cuando se modifica una sola variable, mientras las demás permanecen constantes. Este enfoque permite descomponer el comportamiento de funciones complejas en términos más manejables, facilitando su análisis y aplicación en diversas áreas del conocimiento.

Tal como lo describe Piskunov (1977), las derivadas parciales constituyen una extensión natural de las derivadas de una sola variable, adaptándose al contexto de funciones de varias dimensiones. Este autor destaca cómo estas derivadas permiten captar la relación entre los cambios de las variables independientes y el comportamiento local de la función, ofreciendo una herramienta precisa para estudiar fenómenos físicos y matemáticos.

Thomas (2010), por su parte, resalta que las derivadas parciales son fundamentales no solo desde un punto de vista teórico, sino también práctico. Se utilizan ampliamente en problemas de optimización, modelización de sistemas físicos y análisis de superficies. Además, su representación gráfica proporciona una comprensión visual del gradiente y de las tasas de cambio en diferentes direcciones dentro del dominio de la función.

En este caso, basándonos en los textos de N. Piskunov (1977) y Thomas G.B. (2010), exploraremos la teoría subyacente a las derivadas parciales e ilustraremos su representación gráfica. Estas nociones serán abordadas de forma que permitan conectar su aplicabilidad práctica con una base teórica sólida, destacando su relevancia tanto en el ámbito académico como en situaciones reales. Este recorrido teórico y visual busca no solo clarificar el concepto, sino también facilitar su aplicación en problemas complejos y multidimensionales.

3.1.1 Definición de Derivada Parcial

Sea f(x₁,x₂,…x_i….,x_n) una función diferenciable de n variables. La derivada parcial de f respecto a una de sus variables, por ejemplo: xi​, se denota como $\frac{\partial f}{\partial xi}$ mide cómo cambia la función cuando solo la variable xi varía, mientras las demás se mantienen constantes.

Formalmente, la derivada parcial de f con respecto a xi​ se define como el límite:

$\frac{f\left(x1,x2,\dots ,xi+\Delta xi,\dots .,xn\right)-f(x1,x2,\dots xi\dots .,xn)}{\Delta xi}$

En esta expresión, Δxi representa un pequeño cambio en la variable xi, y la derivada parcial describe el cambio en la función f debido a esa variación, manteniendo las otras variables constantes.

3.1.2 Derivadas parciales en funciones de dos variables

Consideremos una función de dos variables z=f(x,y). Las derivadas parciales de f respecto a x e y se definen como:

$\frac{f\left(x+\Delta x,y\right)-f(x,y)}{\Delta x}$

$\frac{f\left(x,y+\Delta y\right)-f(x,y)}{\Delta y}$

Estas derivadas nos dicen cómo cambia la función f con respecto a cada variable (x o y), mientras que la otra variable permanece constante. Son importantes en el análisis de la geometría de la superficie definida por z=f(x,y), ya que describen la pendiente de la superficie en las direcciones x e y.

3.1.3 Derivadas de una función compuesta

Se tiene la función z=F(u,v), donde u y v son funciones de las variables x e y

u=f₁(x, y)v=f₂(x, y)

Con igual razonamiento y siguiendo la regla de la cadena, sus derivadas parciales y total serían:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial u}*\frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial v}*\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial u}*\frac{\partial u}{\partial y}+ \frac{\partial F}{\partial v}*\frac{\partial v}{\partial y}$

 

3.1.4 Derivadas de una función definida implícitamente

Sea y una función continua de x, definida implícitamente por la ecuación F(x,y)=0 donde F(x,y), F_x’(x,y), F_y’(x,y)≠0 son funciones continuas en un cierto dominio D. Entonces la función y de x tiene por derivada:

$\frac{dy}{dx}=y\text{'}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$

Esta fórmula se utiliza cuando se tiene funciones en las es complejo despejar y en función de x, por ejemplo el caso en que se quiere calcular $\frac{dy}{dx}$ de la función e^x -e^y +xy=0

Ejemplo gráfico de funciones de dos variables

Supongamos que tenemos la función z= f(x,y)=x²+y².

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

Para esta función, la derivada parcial de f respecto a x es:

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x}$

y= constante

$\frac{\partial f}{\partial x}=2x=m\left(pendiente en cualquier punto x\right)$

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

Sea y=0.5 constante, en x=-0.5 la pendiente m es $\frac{\partial f}{\partial x}$ =2x=2(-0.5)=-1.

Entonces, la ecuación de la recta tangente a la curva z= f(x,y)=x²+y² es z=mx+b; ya que z varía únicamente cuando varía la variable x , porque y siempre vale 0.5 constante.

z=-1x+b ecuación de la recta tangente a la curva en el punto x=-0.5; y=0.5 constante. El valor de z se puede calcular mediante z=x²+y², dando un valor de z=0.5

Con el valor de z=0.5 y el valor de x=-0.5, se puede calcular el valor de b en la ecuación de la recta tangente: z=-1x+b, dando un valor de b=0.

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

Finalmente, la ecuación de la recta tangente a la curva z= f(x,y)=x²+y² es z=-x . La recta tangente forma parte del plano y=0.5 constante paralelo al plano x,z . El punto en común entre la recta tangente y la curva z= f(x,y)=x²+y² es el punto azul (-0.5, 0.5, 0.5).

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

Para esta función, la derivada parcial de f respecto a y es:

$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x}$

y=constante

$\frac{\partial f}{\partial x}=2y=m\left(pendiente en cualquier punto y\right)$

 

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

Sea x=0.5 constante. En y=-0.5 la pendiente m es $\frac{\partial f}{\partial y}$ =2y=2(-0.5)=-1

Entonces, la ecuación de la recta tangente a la curva z= f(x,y)=x²+y² es z=my+b ya que z varía únicamente cuando varía la variable y, porque x siempre vale 0.5 constante.

z=-1y+b ecuación de la recta tangente a la curva, en el punto x=0.5 constante; y=-0.5 , el valor de z se puede calcular mediante z=x²+y², dando un valor de z=0.5

Con el valor de z=0.5 y el valor de y=-0.5, se puede calcular el valor de b en la ecuación de la recta tangente z=-1y+b, dando un valor de b=0.

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

Finalmente, la ecuación de la recta tangente a la curva z= f(x,y)=x²+y² es z=-y, la recta tangente forma parte del plano x=0.5 constante paralelo al plano y,z . El punto en común entre la recta tangente y la curva z= f(x,y)=x²+y² es el punto azul (0.5, -0.5, 0.5)

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

3.1.5 Propiedades de las Derivadas Parciales

Las derivadas parciales tienen varias propiedades importantes:

Linealidad: La derivada parcial es lineal respecto a las variables. Es decir, si f(x,y)=a*g(x,y)+b*h(x,y) , entonces:

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=a*\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}+b*\frac{\partial h(x,y)}{\partial x}$​

Existencia: Si f(x,y) es diferenciable en un punto, las derivadas parciales de f existen en ese punto.

Derivadas Mixtas: Si las segundas derivadas parciales de una función son continuas, el orden de la derivación no afecta el resultado, es decir, se cumple que:

$\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial y\partial x}$

Esta propiedad se conoce como el teorema de Schwarz o teorema de las derivadas cruzadas.

3.1.6 Aplicaciones de las Derivadas Parciales

Las derivadas parciales tienen numerosas aplicaciones en diversos campos, como:

Optimización: Las derivadas parciales se utilizan para encontrar máximos y mínimos locales de funciones multivariables. Para encontrar un punto crítico de una función, se requiere que sus derivadas parciales sean cero.

Física e Ingeniería: En física, las derivadas parciales son cruciales para describir fenómenos que dependen de varias variables, como la temperatura en un sistema multidimensional, la propagación de ondas, o el comportamiento de fluidos.

Economía y Ciencias Sociales: En economía, las derivadas parciales se emplean para estudiar cómo cambian las variables económicas (como la producción o el consumo) con respecto a distintos factores, como el tiempo o el precio de los insumos.

3.1.7 Derivadas Parciales y Planos Tangentes

Una de las aplicaciones geométricas más directas de las derivadas parciales es en la determinación de la ecuación del plano tangente a una superficie en un punto dado. Si tenemos la función z=f(x,y), la ecuación del plano tangente en el punto (x₀,y₀,z₀) es:

 

$z-x_{0=}{\frac{\partial f}{\partial x}}_{\left(x_0,y_0\right)}*\left[x-x_0\right]+{\frac{\partial f}{\partial y}}_{\left(x_0,y_0\right)}*\left[y-y_0\right]$

 

Este plano tangente es una aproximación lineal de la superficie cerca del punto (x₀,y₀).

Ejemplo Gráfico

Sea la función z= f(x,y)=(1-x²-y² )^1/2 , encontrar y graficar el plano tangente en el punto (x₀,y₀,z₀)=(0.5, 0.5, 0.707) que es parte de la superficie z=f(x,y).

${\frac{\partial f}{\partial x}}_{\left(x_0,y_0\right)}=\frac{1}{2}{\left(1-{0.5}^2-{0.5}^2 \right)}^{-\frac{1}{2} }[-2\left(0.5\right)]=-0.707$

${\frac{\partial f}{\partial y}}_{\left(x_0,y_0\right)}=\frac{1}{2}{\left(1-{0.5}^2-{0.5}^2 \right)}^{-\frac{1}{2} }[-2\left(0.5\right)]=-0.707$

 

La ecuación del plano tangente en el punto común (x₀,y₀,z₀)=(0.5, 0.5, 0.707) es:

 

$z-0.707={\frac{\partial f}{\partial x}}_{\left(x_0,y_0\right)}*\left[x-0.5\right]+{\frac{\partial f}{\partial y}}_{\left(x_0,y_0\right)}*\left[y-0.5\right]$

z=-0.707x-0.707y+1.4142

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Alpha

 

 

 

3.1.7 Conclusión

Las derivadas parciales son herramientas fundamentales en el cálculo multivariable, que permiten el análisis detallado de cómo cambia una función de varias variables con respecto a cada una de sus variables independientes. A través de sus propiedades y aplicaciones, las derivadas parciales proporcionan una comprensión profunda de la geometría de superficies, y tienen un amplio espectro de aplicaciones en diversos campos, desde la optimización hasta las ciencias aplicadas.

 

La interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de varias variables es un concepto fundamental para entender cómo se comportan las superficies y cómo varían sus pendientes en distintas direcciones. En el contexto del cálculo multivariable, las derivadas parciales nos permiten analizar cómo cambia una función en una dirección específica, mientras mantenemos las otras variables constantes.

Al estudiar derivadas parciales, podemos imaginar cómo la superficie de una función se comporta cuando la alteramos ligeramente en una de las direcciones del espacio. Esta visualización, que relaciona el cálculo con la geometría, nos permite dar una respuesta más intuitiva y precisa a preguntas como, por ejemplo: ¿cómo cambia la temperatura a lo largo de una superficie en dirección norte-sur, mientras se mantiene constante en la dirección este-oeste?

Basándonos en los textos de N. Piskunov (1977) y Thomas G.B. (2010), vamos a explorar en detalle tanto la teoría detrás de las derivadas parciales como su interpretación geométrica, con el objetivo de entender cómo se calculan, interpretar visualmente cómo afectan las superficies en el espacio, y aplicar este conocimiento en diferentes áreas.

3.2.1 Curvas de Nivel

Otra forma de interpretar las derivadas parciales geométricamente es a través de las curvas de nivel. Una curva de nivel es una línea en el plano x–y donde la función f(x, y) toma un valor constante. Para cada valor constante c, la curva de nivel correspondiente es el conjunto de puntos (x, y) tales que f(x, y) = c.

Las derivadas parciales están relacionadas con la pendiente de estas curvas de nivel. En particular, la derivada parcial de f con respecto a x, $\frac{\partial f}{\partial x}$ describe el cambio de la función a lo largo de las curvas de nivel en la dirección x, mientras que $\frac{\partial f}{\partial y}$ describe el cambio en la dirección y.

3.2.2 Máximo y mínimo de una función de varias variables

Al igual que las funciones de una variable, en las funciones de dos o más variables se pueden analizar las condiciones para obtener máximos y mínimos, cuyas variables están relacionadas entre sí mediante ciertas condiciones iniciales.

Para el caso de una función de dos variables z= f(x,y), si alcanza un valor extremo cuando x=x₀ e y=y₀ , entonces cada derivada parcial de primer orden de f se anula para esos valores o no existe. Los puntos que cumplen con esa condición se denominan puntos críticos.

Los criterios para conocer si en esos valores existen máximos o mínimos son las siguientes:

z= f(x,y) tiene un máximo si:

 

$\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial x^2}*\frac{{\partial }^{2}f\left(x_0,y_0\right)}{\partial y^2}-{\left(\frac{{\partial }^{2}f\left(x_0,y_0\right)}{\partial x\partial y} \right)}^2>0 y \frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial x^2} <0$

 

z= f(x,y) tiene un mínimo si:

 

$\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial x^2}*\frac{{\partial }^{2}f\left(x_0,y_0\right)}{\partial y^2}-{\left(\frac{{\partial }^{2}f\left(x_0,y_0\right)}{\partial x\partial y} \right)}^2>0 y \frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial x^2} >0$

 

z= f(x,y) no tiene máximo ni mínimo si:

 

$\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial x^2}*\frac{{\partial }^{2}f\left(x_0,y_0\right)}{\partial y^2}-{\left(\frac{{\partial }^{2}f\left(x_0,y_0\right)}{\partial x\partial y} \right)}^2<0$

 

En z= f(x,y) puede existir o no un extremo si:

 

$\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial x^2}*\frac{{\partial }^{2}f\left(x_0,y_0\right)}{\partial y^2}-{\left(\frac{{\partial }^{2}f\left(x_0,y_0\right)}{\partial x\partial y} \right)}^2=0$

 

3.2.3 Conclusión

La interpretación geométrica de las derivadas parciales proporciona una visión visual y conceptual profunda del comportamiento de una función de varias variables. A través del análisis del plano tangente, las curvas de nivel y el gradiente, podemos entender cómo cambian las superficies en las diferentes direcciones. Las derivadas parciales no solo nos permiten calcular tasas de cambio, sino que también nos ofrecen información importante sobre la geometría de las superficies definidas por las funciones multivariables.

 

La integral doble es una herramienta fundamental en el cálculo de funciones de varias variables. En el estudio presentado en el Cálculo Diferencial e Integral, Tomo I, de N. Piskunov (1977) y en el Cálculo de Thomas G.B (2010), se aborda este tema de manera rigurosa, ofreciendo una sólida base teórica y gráfica que facilita la comprensión del concepto. Estas fuentes destacan que la integral doble no solo es una técnica matemática, sino también un recurso clave para modelar fenómenos físicos y geométricos en el espacio tridimensional.

4.1.1 Descomposición y cálculo

Para evaluar una integral doble, la región de dominio D suele descomponerse en pequeños rectángulos cuya área es aproximadamente constante. La función f(x,y) se evalúa en un punto representativo de cada rectángulo, multiplicándose por el área diferencial correspondiente. En el límite, cuando el tamaño de los rectángulos tiende a cero, la suma de estos productos converge al valor exacto de la integral doble. Este proceso puede visualizarse como la suma infinita de volúmenes de prismas infinitesimales que conforman la región bajo la superficie.

Los autores subrayan que, en la práctica, la integral doble se calcula mediante integración iterada. Esto implica integrar f(x,y) respecto a una variable mientras se mantiene la otra constante, y luego repetir el proceso para la segunda variable. El orden de integración puede cambiar dependiendo de la región D, lo que influye en los límites de integración. Además, en situaciones más complejas, las regiones pueden dividirse en subregiones más simples para facilitar el cálculo.

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_a^b\left[{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}f(x,y)dy \right]dx$

Expresión que se denomina integral iterada de segundo orden de la función f(x, y) sobre el dominio D.

En esta expresión, primero se calcula la integral interna, la integración se realiza respecto a la variable y , considerando x constante. Como resultado de la integración obtenemos una función i(x Si esta función es continua, se procede con la integral externa para obtener un número que representa el volumen bajo la superficie z=f(x,y) que se encuentra en el espacio y el plano x,y.

${\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}f\left(x,y\right)dy=i\left(x\right)$

$\underset{D}{\overset{}{\iint }}f\left(x,y\right)dA={\int }_a^{b}i\left(x\right)dx$ es igual a un número que representa el volumen bajo la superficie z=f(x,y) y sobre el plano x,y

 

 

Ejemplo 1

Consideremos una función simple, como f(x,y)=x+y , y un dominio D definido por una región rectangular definida por 0≤x≤20 y 0≤y≤10. La integral doble se escribe como:

Solución analítica:

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_0^{20}{\int }_0^{10}\left(x+y\right) dydx$

Primero realizamos la integración respecto a y:

${\int }_0^{10}\left(x+y\right)dy={\int }_0^{10}\left(x\right)dy+{\int }_0^{10}\left(y\right)dy= x{\left[y\right]}_0^{10}+{\left[\frac{y^2}{2} \right]}_0^{10}=10x+50$

Luego, integramos respecto a x:

${\int }_0^{20}\left(10x+50\right)dx={\int }_0^{20}\left(10x\right)dx+ {\int }_0^{20}\left(50\right)dx={10\left[\frac{x^2}{2} \right]}_0^{20}+{50\left[x\right]}_0^{20}=$ 3000

 

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en WolframAlpha

 

Ejemplo 2

Consideremos una función simple, como f(x,y)=x² + y², y un dominio D definido por una región rectangular definida por 0≤x≤1 y 0≤y≤x². La integral doble se escribe como:

Solución analítica:

 

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_0^1{\int }_0^{x^2}\left(x^2+y^2\right) dydx$

Primero realizamos la integración respecto a y:

${\int }_0^{x^2}\left(x^2+y^2\right)dy={\int }_0^{x^2}\left(x^2\right)dy+{\int }_0^{x^2}\left(y^2\right)dy= x^2{\left[y\right]}_0^{x^2}+{\left[\frac{y^3}{3} \right]}_0^{x^2}=x^4+\frac{x^6}{3}$

Luego, integramos respecto a x:

${\int }_0^1\left(x^4+\frac{x^6}{3}\right)dx={\left[\frac{x^5}{5} \right]}_0^1+{\left[\frac{x^7}{21} \right]}_0^1=\frac{26}{105}$

Nota. Fuente: Creación del autor generada en WolframAlpha.

Ejemplo 3

Consideremos una función simple, como f(x,y)=xy , y un dominio D definido por una región rectangular definida por y²≤x≤y y 0≤y≤1. La integral doble se escribe como:

Solución analítica:

La integral interna es con respecto a x, a diferencia de los ejercicios anteriores.

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_0^1{\int }_{y^2}^y\left(xy\right) dxdy$

Primero realizamos a la integración respecto a x:

${\int }_{y^2}^y\left(xy\right)dx={\int }_{y^2}^{y}y\left(x\right)dx=y {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{y^2}^y= \frac{y^3}{2}-\frac{y^5}{2}$

Luego, integramos respecto a y:

${\int }_0^1\left(\frac{y^3}{2}-\frac{y^5}{2}\right)dy={ \left[\frac{y^4}{8} \right]}_0^1-{ \left[\frac{y^6}{12} \right]}_0^1=\frac{1}{24}$

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en WolframAlpha

4.1.2 Importancia y aplicaciones

La integral doble tiene aplicaciones significativas en física, ingeniería y estadística. Por ejemplo, se utiliza para calcular masas de láminas con densidad variable, flujos de fluidos y probabilidades en distribuciones bidimensionales. También resulta esencial para el análisis de propiedades geométricas, como el cálculo de centroides o momentos de inercia en cuerpos planos.

En física, la integral doble permite analizar campos vectoriales y magnitudes escalares distribuidas en regiones del plano, facilitando la resolución de problemas como el flujo eléctrico o la transferencia de calor. En estadística, su uso en distribuciones de probabilidad bidimensionales permite determinar probabilidades acumuladas y correlaciones entre variables aleatorias. Estas aplicaciones destacan su versatilidad y relevancia en diversas disciplinas.

En casos prácticos, las aplicaciones incluyen el cálculo de áreas, volúmenes y otras magnitudes físicas en situaciones donde las variables cambian simultáneamente dentro de una región delimitada. Por ejemplo, al analizar la distribución de temperatura en una placa metálica, la densidad de carga en una lámina o el flujo de un fluido sobre una superficie específica.

 

4.2.1 Concepto geométrico

La integral doble de una función z=f(x,y) sobre una región D del plano xy se interpreta como el volumen de un sólido tridimensional cuya base está delimitada por D y cuya altura en cada punto está determinada por z=f(x,y). Este volumen se obtiene al sumar infinitesimales "bloques" de volumen f(x,y) ΔAf(x, y), donde ∆A es un área pequeña dentro del dominio D. En el límite, cuando el tamaño de ∆A tiende a cero, la suma infinita de estos bloques converge al valor exacto de la integral doble:

$Volumen bajo la superficie f\left(x,y\right) delimitado por un contorno D$

${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA={\int }_{x1}^{x2}{\int }_{y1}^{y2}f(x,y) dydx$

 

La región D puede tener formas arbitrarias, como rectángulos, círculos o regiones delimitadas por curvas más complejas. En cada caso, la integral doble permite calcular volúmenes, áreas, o resolver problemas de distribución de densidad o flujo, dependiendo de la naturaleza de z=f(x,y).

Analizamos las regiones dominio D de los ejemplos calculados al inicio de la clase:

Gráfico del dominio D de ejemplo 1: Consideremos una función simple, como f(x,y)=x+y, y un dominio D definido por una región rectangular definida por 0≤x≤20 y 0≤y≤10. El dominio D se encuentra en el primer cuadrante de la base de la figura.

 

 

Nota. Creación del autor utilizando Wolfram Mathematica.

 

Gráfico del dominio D de ejemplo 2: Consideremos una función simple, como f(x,y)=x² + y², y un dominio D definido por una región rectangular definida por 0≤x≤1 y 0≤y≤x². El dominio D(área celeste) se encuentra en el primer cuadrante de la base de la figura.

 

 

Nota. Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Gráfico del dominio D de ejemplo 3: Consideremos una función simple, como f(x,y)=xy , y un dominio D definido por una región rectangular definida por y²≤x≤y y 0≤y≤1. El dominio D (área entre la curva y la recta) se encuentra en el primer cuadrante de la base de la figura.

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

4.2.2 Representación gráfica

Geométricamente el resultado numérico de la integral doble representa el volumen comprendido entre la superficie z=f(x,y) que en el gráfico tiene malla y el dominio D que se encuentra en el plano xy.

Analizamos los volúmenes que representan las integrales dobles de los ejemplos calculados al inicio de la clase:

Representación gráfica de la integral del ejemplo 1: Consideremos una función simple, como z=f(x,y)=x+y , y un dominio D definido por una región rectangular definida por 0≤x≤20 y 0≤y≤10. El resultado numérico de la integral doble es 3000, y es el volumen entre z=f(x,y) y el dominio D en el plano x,y.

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Representación gráfica de la integral del ejemplo 2: Consideremos una función simple, como z=f(x,y)=x+y , y un dominio D definido por una región rectangular definida por 0≤x≤20 y 0≤y≤10. El resultado numérico de la integral doble es 26/105, y es el volumen entre z=f(x,y) y el dominio D en el plano x,y.

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Representación gráfica de la integral del ejemplo 3: Consideremos una función simple, como f(x,y)=xy , y un dominio D definido por una región rectangular definida por y²≤x≤y y 0≤y≤1. El resultado numérico de la integral doble es 1/24, y es el volumen entre z=f(x,y) y el dominio D en el plano x,y.

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

4.2.3 Aplicaciones prácticas

La interpretación geométrica de la integral doble es fundamental en diversas disciplinas. Por ejemplo:

Física: Calcular el trabajo realizado por un campo de fuerzas variable sobre una superficie.

Ingeniería: Determinar el volumen de materiales en diseños estructurales.

Estadística: Analizar distribuciones bidimensionales de probabilidad, donde la integral doble representa probabilidades acumuladas sobre regiones del plano.

Economía: Estimar ingresos o costos asociados a funciones de densidad en superficies geográficas o industriales.

 

4.2.4 Importancia pedagógica

Los textos de Piskunov y Thomas enfatizan la necesidad de combinar representaciones gráficas con procedimientos algebraicos para fortalecer la comprensión conceptual. Esta dualidad permite que los estudiantes visualicen el significado de la integral doble, mientras dominan su cálculo. Además, el uso de ejemplos prácticos y aplicaciones concretas ayuda a contextualizar el concepto, mostrando su utilidad más allá del aula.

En conclusión, la interpretación geométrica de la integral doble no solo facilita la comprensión del cálculo en varias variables, sino que también subraya su aplicabilidad en contextos reales.

 

4.2.5 Cálculo de áreas de superficies

Sea la superficie z=f(x,y), donde la función es continua y tiene derivadas parciales continuas, el área de la superficie z=f(x,y) se calcula mediante la ecuación:

$Área de la superficie \left[z=f\left(x,y\right)\right]=\underset{D}{\overset{}{\iint }}\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)}^2}dxdy$

Ejemplo: Calcular la superficie de la esfera de radio R, $x^2+y^2+z^2=R^2$

Despejando z, obtenemos $z=\pm \sqrt{R^2-x^2-y^2 }$

Como la esfera es simétrica, consideremos la mitad de la esfera y tomamos únicamente el valor positivo:

$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2 }$

Obtenemos las derivadas parciales $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2-y^2 }}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{R^2-x^2-y^2 }}$

Es de nuestro interés encontrar $\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)}^2}$ para tener la función a integra respecto a la variable y, reemplazando los valores obtenidos de las derivadas parciales en la raíz cuadrada y operando los tres términos obtenemos:

$\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)}^2}=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2 }}$

El dominio de integración de la semiesfera se encuentra en el plano x,y, es decir cuando z=0, entonces:

$x^2+y^2+0^2=R^2$

$x^2+y^2=R^2$, representa la ecuación del círculo en el plano x,y.

Despejamos la variable y para conocer su variación.

$y=\pm \sqrt{R^2-x^2}$

Entonces: $-\sqrt{R^2-x^2}\le y\le \sqrt{R^2-x^2}$

Para conocer la variación de x, realizamos y=o, obtenemos:

$x^2+0^2=R^2$

$x=\pm \sqrt{R^2}=\pm R$

Entonces: -R$\le x\le R$

Para calcular el área de la semiesfera, utilizamos la ecuación definida anteriormente:

$Area de la superficie \left[z=f\left(x,y\right)\right]=\underset{D}{\overset{}{\iint }}\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)}^2}dydx$

$Area de la superficie \left[semiesfera\right]={\int }_{-R}^R{\int }_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2 }}dydx$

De acuerdo con los procedimientos de integración de dobles integrales.

Primero. La integral interna, para ello utilizamos el software Symbolab y obtenemos la siguiente respuesta:

${\int }_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2 }}dy= \pi R$

Segundo. Con el resultado obtenido, calculamos la integral externa:

${\int }_{-R}^R\pi Rdx=\pi R{\int }_{-R}^{R}dx$

${\int }_{-R}^R\pi Rdx=\pi R{\left[x \right]}_{-R}^R$

${\int }_{-R}^R\pi Rdx=\pi R\left(2R\right)$

$Área de la superficie \left[semiesfera\right]=2\pi R^2$

El objetivo inicial era encontrar el área de toda la esfera, lo que nos lleva a duplicar el valor obtenido porque la esfera es simétrica y el área inferior tendría el mismo valor.

Área de la superficie de la esfera= 2 área de la semiesfera

Área de la superficie de la esfera= 2($2\pi R^2)$=4?R2

Resultado que corresponde a la ecuación de cálculo del área de la superficie de una esfera.

 

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