Definición 1. Como menciona Piskunov (1977), si a cada par de valores (x, y) en las que x, y son dos variables independientes entre sí, valores que son tomados de un conjunto D, le corresponde un valor determinado de la magnitud z (variable dependiente de las variables x, y). Entonces z es una función de dos variables independientes x, y definida en el conjunto DE, su notación se puede escribir como:

 

z= f(x, y)

z= F(x, y)

 

Definición 2. El conjunto de los valores de (x, y) para los cuales se encuentra definida la función z= f(x, y) se llama dominio de existencia de la función.

 

De las definiciones anteriores podemos apreciar que cada valor de pares ordenados (x, y) corresponden a puntos del plano x, y, entonces el dominio de existencia es una parte del plano x, y delimitado por líneas, estas líneas que delimitan al dominio se denominan frontera del dominio y los valores de pares ordenados (x, y) son interiores del dominio.

1.1.1. Funciones en componentes cartesianas

Las funciones en componentes cartesianas son aquellas cuyas variables independientes son las que corresponden a los tres ejes del plano cartesiano x, y, z. Las funciones con dos variables se encuentran en uno de los 3 planos cartesianos, formados al considerar únicamente dos ejes, dando lugar a tres planos:

 

Plano x,y

Plano x,z

Plano y,z

 

Los tres planos en un único gráfico se muestran a continuación.

 

 

Nota. Adaptado de Shutterstock, por Creative Stall, 2021 (https://www.shutterstock.com/es/image-vector/cartesian-plane-navigation-coordinate-system-perspective-1908342139).

 

Se concluye entonces que:

Si se tiene z= f(x, y), las variables independientes son x, y. El dominio es una superficie delimitada dentro del plano x, y.

Si se tiene y= f(x, z), las variables independientes son x, z. El dominio es una superficie delimitada dentro del plano x, z.

Si se tiene x= f(y, z), las variables independientes son y, z. El dominio es una superficie delimitada dentro del plano y, z.

 

Ejemplo 3

Encontrar el dominio de la función

 

z= 3x+2y

 

La expresión 3x+2y tiene sentido para todos los valores de x,y. Por lo tanto, el dominio para que exista z, es todo el plano x y; es decir, no existen valores de x, y impedidos.

 

 

Nota. Adaptado de Shutterstock, por Vector Tradition SM, 2015 (https://www.shutterstock.com/es/image-vector/coordinate-axis-on-graph-paper-origin-243034501).

 

 

Ejemplo 4

Encontrar el dominio de la función

 

y= (1-x^2-z^2)^1/2

 

La expresión (1-x^2-z^2)^1/2 no tiene sentido dentro de los números reales si (1-x^2-z^2) es menor o igual a 0, porque tendríamos raíz de un número negativo.

Entonces la condición de existencia de y, variable dependiente, es que (1-x^2-z^2)^>= 0, o lo que es lo mismo 1>=x^2+z^2 , o también x^2+z^2<=1

Para encontrar el dominio de la función debemos considerar primero la ecuación x^2+z^2=1 que representa a un círculo de radio 1, y es la frontera del dominio. Los puntos (x,y) internos representan el dominio D porque representan a x^2+z^2<=1.

Como se indica en la zona sombreada de la figura que representa el dominio en el plano x,z.

 

Nota. Creación del autor generada en Wolfram Alpha

 

 

Ejemplo 5

Encontrar el dominio de la función

 

x=ln(y+z)

 

Para el presente caso debemos recordar que únicamente existen logaritmos de números positivos, por tanto, para que exista x, las variables independientes (y+z) debe ser mayor a 0, entonces (y+z)>0, o lo que es lo mismo y>-z.

Para encontrar el dominio de la función debemos considerar primero la ecuación y=-z que representa a una recta en el plano yz con pendiente negativa, y es la frontera del dominio. Los puntos (x,y) sobre la recta representan el dominio D porque representan a (y+z)>0.

Como se indica en la zona sombreada de la figura que representa el dominio en el plano y,z.

 

Nota. Creación del autor generada en Wolfram Alpha

 

En general, para determinar el dominio de una función se debe considerar las características de la función, por ejemplo, si contiene raíz, es fraccionaria, logarítmica u otras similares.

 

 

 

1.1.2. Funciones en componentes paramétricas

De acuerdo con George B. Thomas (2010), las funciones también pueden ser vectoriales cuyas componentes cartesianas son también funciones en términos de una variable independiente llamada parámetro, cuyo dominio se encuentra supeditado a lo que representa el parámetro. Así, por ejemplo, si el parámetro es t que representa el tiempo, no puede ser negativo. Son funciones que facilitan la descripción de fenómenos, especialmente físicos.

 

F[X(t),Y(t),Z(t)]= X(t)i +Y(t)j +Z(t)k

X(t), Y(t), Z(t) son funciones con parámetro t

 

Funciones vectoriales se utilizan en física para describir posiciones, velocidades y aceleraciones en el tiempo.

 

Ejemplo 6

La función P representa el vector posición para cualquier tiempo t.

 

P= sen(t)i +cos(t)j

 

La componente x de la posición se encuentra representada por x=sen(t)

La componente y de la posición se encuentra representada por y=cos(t)

 

Para cada valor del parámetro t que representa el tiempo, se obtiene un punto de coordenadas (x, y) en el plano xy. El dominio de la función P son los valores reales positivos de t.

En el ejemplo se puede apreciar que todos los puntos de coordenadas (x,y) que se obtienen para cada valor de t real positivo, forman parte de un círculo de radio 1.

 

Si partimos de una identidad trigonométrica muy conocida

 

sen²(t) + cos²(t)=1, reemplazando x=sen(t), y=cos(t)

Obtenemos:

 

x² +y² =1 Ecuación de un círculo, es decir la trayectoria en el tiempo es un círculo.

 

Nota. Creación del autor generada en Wolfram Alpha

 

 

1.1.3. Aplicaciones en la vida real

El análisis del dominio de funciones de múltiples variables es una herramienta fundamental en la resolución de problemas del mundo real. Según Piskunov (1977) y Thomas (2010), comprender las restricciones y características de los dominios no solo permite definir el alcance de las funciones matemáticas, sino que también ayuda a modelar fenómenos naturales y tecnológicos de manera precisa.

En física, el dominio se aplica al modelado de campos vectoriales, como los campos electromagnéticos, donde las funciones vectoriales definen propiedades como la intensidad y dirección en una región específica del espacio. Por ejemplo, al estudiar la propagación de ondas electromagnéticas, el dominio de la función que describe la onda está limitado por las condiciones iniciales y los medios a través de los cuales viaja.

En ingeniería civil, el dominio se utiliza en el análisis estructural y geotécnico. Las funciones multivariables pueden describir la distribución de tensiones en un material o la interacción entre estructuras y el suelo. En estos casos, el dominio está definido por los límites físicos del objeto de estudio y las condiciones de contorno, como las fronteras de un terreno o el área de una estructura.

En economía, el dominio de funciones multivariables permite modelar sistemas complejos, como la relación entre producción, costos y beneficios. Por ejemplo, una función que describe el beneficio de una empresa puede tener como dominio los valores de insumos y factores productivos disponibles. La comprensión de este dominio ayuda a los economistas a identificar las combinaciones viables para maximizar los resultados.

Por último, en el diseño gráfico y la animación por computadora, el dominio de las funciones vectoriales es esencial para definir trayectorias y movimientos. Las curvas paramétricas permiten describir movimientos precisos en animaciones, donde el dominio del parámetro, como el tiempo, determina la duración y el alcance de la animación.

1.1.4. Conclusión

El dominio de las funciones de múltiples variables es un concepto clave en matemáticas aplicadas, ya que define las restricciones y posibilidades dentro de las cuales una función puede operar. Tanto Piskunov (1977) como Thomas (2010) subrayan la importancia de analizar el dominio para interpretar y modelar fenómenos complejos de manera efectiva.

Desde aplicaciones en física hasta problemas económicos y de diseño, el análisis del dominio permite resolver desafíos prácticos y aprovechar al máximo las herramientas matemáticas. La identificación precisa del dominio no solo garantiza resultados coherentes, sino que también amplía las posibilidades de aplicación, convirtiéndose en un recurso esencial para científicos, ingenieros y diseñadores en su trabajo cotidiano.

 

El recorrido de una función representa los valores que toma la variable dependiente para cada combinación posible de las variables independientes dentro del dominio D. Según Piskunov (1977), el recorrido es fundamental para comprender la relación entre las entradas y salidas de una función, ya que define el conjunto de resultados que pueden esperarse al operar dentro de los límites del dominio. Por su parte, Thomas (2010) enfatiza que analizar el recorrido es clave para interpretar gráficamente el comportamiento de una función y determinar cómo esta responde ante variaciones en sus variables independientes.

En este contexto, entender el recorrido no solo implica conocer los valores alcanzables de la función, sino también explorar cómo estos se distribuyen y si presentan alguna restricción o simetría en su representación gráfica. Esto es particularmente relevante en aplicaciones prácticas, donde el recorrido puede determinar las posibles soluciones de un problema o las limitaciones de un modelo.

 

 

1.2.1. Funciones en componentes cartesianas

En el ejemplo 3, el recorrido, es el valor que toma z para cualquier punto del dominio D, que es cualquier punto del plano x y. El recorrido son los reales.

 

En el ejemplo 4, el recorrido, es el valor que toma y para cualquier punto (x, z) del dominio D de la función, que corresponde a los puntos ubicados dentro del círculo de radio 1. El recorrido son los reales positivos.

1.2.2. Funciones en componentes paramétricas

Con el mismo criterio, cuando una función está definida en componentes paramétricas, el recorrido se obtiene considerando cómo los valores del parámetro (o parámetros) afectan las variables dependientes. En este caso, la relación funcional se expresa en términos de uno o más parámetros que actúan como intermediarios para conectar las variables independientes con las dependientes.

Por ejemplo, una curva en el espacio puede describirse mediante funciones paramétricas:

x=f(t), y=g(t), z=h(t)

 

donde t es el parámetro que define la posición en la curva. Aquí, el recorrido se forma por todos los puntos (x,y,z) generados al variar t dentro de un intervalo específico, que depende del dominio permitido para t.

En términos prácticos, determinar el recorrido en este contexto implica:

Identificar el intervalo del parámetro t.

Calcular las imágenes de las funciones f(t), g(t), h(t) dentro de ese intervalo.

Analizar las relaciones geométricas o algebraicas entre las componentes para comprender la forma y límites del recorrido.

Este enfoque es especialmente útil en geometría analítica y física, donde las trayectorias de objetos o partículas suelen describirse paramétricamente.

1.2.3. Aplicaciones en la vida real

El concepto de recorrido de funciones de múltiples variables tiene aplicaciones prácticas en numerosos campos de la ciencia, la ingeniería y la tecnología. Según Piskunov (1977) y Thomas (2010), el análisis del recorrido es esencial para modelar fenómenos en los que la relación entre las variables es compleja y depende de múltiples factores.

En física, por ejemplo, el recorrido de una función puede describir las posiciones posibles de una partícula dentro de un espacio tridimensional, dependiendo de parámetros como el tiempo. Esto es crucial en el estudio de trayectorias, donde las funciones paramétricas se utilizan para definir las coordenadas espaciales de un objeto en movimiento.

En ingeniería, el recorrido se aplica al diseño de sistemas mecánicos y electrónicos. Por ejemplo, en la modelación de circuitos eléctricos, las funciones multivariables pueden representar la relación entre voltaje, corriente y resistencia, mientras que el recorrido determina las salidas posibles bajo diferentes condiciones de operación.

En economía y estadística, los modelos de múltiples variables utilizan el recorrido para analizar cómo los cambios en ciertos factores afectan los resultados esperados. Un ejemplo clásico es el análisis de precios y demanda, donde el recorrido representa los valores posibles de las ganancias o costos en función de las variables relacionadas.

Finalmente, en la geometría computacional y en el diseño gráfico, el recorrido permite definir formas y estructuras en espacio tridimensional, facilitando la creación de modelos visuales y su interpretación en simulaciones o animaciones.

1.2.4. Conclusión

En resumen, el estudio del recorrido en funciones de múltiples variables es un tema fundamental para entender las relaciones entre variables y sus aplicaciones prácticas. Desde la definición teórica hasta su representación paramétrica, el recorrido no solo describe el comportamiento de una función, sino que también ofrece herramientas para resolver problemas reales en áreas como la física, la ingeniería y las ciencias sociales.

 

Imaginemos una función de dos variables z=f(x,y) definida en el dominio D del plano xy. Este dominio puede, en algunos casos, abarcar todo el plano y estar representado dentro de un sistema de coordenadas cartesianas x,y,z. Toma cualquier punto (x,y) dentro del dominio D. Desde ese punto, tracemos una línea perpendicular al plano xy y marquemos sobre ella un segmento cuya longitud es igual al valor z=f(x,y). De esa manera, obtenemos en el espacio un punto P de coordenadas (x,y,z).

 

El análisis de las variaciones de una función de dos variables constituye uno de los pilares fundamentales en el cálculo diferencial, ya que permite comprender cómo pequeñas alteraciones en las variables independientes afectan al valor de la función. Dentro de este marco, los conceptos de incremento parcial y total son herramientas clave para descomponer y analizar esos cambios de manera precisa.

Según Piskunov (1977), estos incrementos permiten aproximar de forma eficaz el comportamiento de una función alrededor de un punto dado, facilitando la interpretación de fenómenos complejos en términos matemáticos. Por su parte, Thomas (2010) resalta que el incremento total se construye a partir de los incrementos parciales, lo que refleja cómo cada variable contribuye individualmente al cambio total en la función.

Estos conceptos no solo tienen relevancia teórica, sino que también son fundamentales en aplicaciones prácticas, como la optimización de procesos, la modelización de sistemas físicos y la resolución de problemas ingenieriles. Al analizar cómo una función responde a variaciones específicas, se obtiene una base sólida para el estudio de gradientes, derivadas direccionales y aproximaciones lineales.

A continuación, se desarrollará el concepto de incremento parcial y total, basado en los textos de N. Piskunov (1977) y G. B. Thomas (2010), explicando sus propiedades y mostrando ejemplos prácticos que ilustran su utilidad en contextos diversos. Este recorrido permitirá no solo asimilar los fundamentos teóricos, sino también visualizar su aplicación en problemas reales, conectando la teoría con su impacto en múltiples disciplinas.

 

2.1.1 Definición del Incremento Parcial

Sea z= f(x,y) una función de dos variables independientes x y y. El incremento parcial de f mide el cambio en su valor cuando una de las variables independientes cambia de valor mientras la otra se mantiene constante. Esto permite aislar el efecto de una sola variable en la función.

2.1.2 Incremento Parcial respecto a x

Si x experimenta un cambio Δx, manteniendo la variable y constante, el incremento parcial de z respecto a x se define como:

Δ_x z=f(x+Δx, y)−f(x, y)

Este incremento refleja el cambio en el valor de z cuando solo x varía, manteniendo la variable y fijo, es decir la variación se presenta únicamente en el plano xz conforme se indica en el siguiente gráfico:

 

Nota. Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

2.1.3 Incremento Parcial respecto a y

De forma análoga, si y varía en Δy, mientras que x permanece constante, el incremento parcial de z respecto a y se define como:

Δ_y z=f(x, y+Δy)−f(x, y)

El incremento parcial de z respecto a y refleja cómo cambia z cuando solo y se modifica, manteniendo x constante, es decir la variación se presenta únicamente en el plano yz conforme se indica en el siguiente gráfico:

 

Nota. Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

2.1.4 Representación Geométrica del Incremento Parcial

Los incrementos parciales se pueden visualizar geométricamente a través de las curvas de nivel de la función. Estas curvas representan las intersecciones de la superficie z=f(x,y) con planos xz, yz paralelos a los ejes coordenados.

Curvas Paralelas a los Planos Coordenados

Plano xz: Cuando y es constante, el incremento parcial respecto a x corresponde a la pendiente de la curva obtenida al cortar la superficie z=f(x,y) con un plano paralelo al plano xz.

 

Nota. Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

Plano yz: Cuando x es constante, el incremento parcial respecto a y es la pendiente de la curva obtenida al cortar la superficie z=f(x,y) con un plano paralelo al plano yz.

 

Nota. Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

2.1.5 Incremento Total de una Función de Dos Variables

El incremento total de una función de dos variables se refiere al cambio en z=f(x,y) cuando ambas variables x y y experimentan pequeños cambios Δx y Δy simultáneamente. Este cambio se puede aproximar por una aproximación lineal, que es la base para el cálculo del incremento total.

La definición del incremento total es:

Δz=f(x+Δx, y+Δy)−f(x,y)

Notemos que, en general, el incremento total no es igual a la suma de los incrementos parciales, es decir, Δz ≠ Δ_x z + Δ_y z

2.1.6 Interpretación Geométrica del Incremento Total

Geométricamente, el incremento total representa el cambio en la altura de la superficie z=f(x,y) cuando nos movemos desde el punto (x,y) hacia el punto (x+Δx, y+Δy). La aproximación lineal del incremento total se interpreta como el plano tangente a la superficie en el punto (x,y), el cual proporciona una estimación del cambio total en z=f(x,y) cuando Δx y Δy son pequeños.

Ejemplo de incrementos parciales y total

Consideremos la función z=f(x,y)=xy , para x=1, y=2, Δx=0,2, Δy=0,3. Determinar:

Los incrementos parciales Δ_x z , Δ_y z

El incremento total Δz

Verificar que se cumple Δz ≠ Δ_x z + Δ_y z

 

Δ_x z=f(x+Δx, y)−f(x, y)

Δ_x z= (x+Δx)y -xy=y Δx

Δ_x z=0,4

 

Δ_y z=f(x, y+ Δy)−f(x, y)

Δ_y z= x(y+Δy) -xy=x Δy

Δ_y z=0,3

 

Δz=f(x+Δx, y+Δy)−f(x,y)

Δz=(x+Δx)(y+Δy)−f(x,y)= y Δx+ x Δy+ Δx Δy

Δz=0,76

 

Δz ≠ Δ_x z + Δ_y z

0,76 ≠ 0,4+0,3

 

2.1.7 Aplicaciones del Incremento Parcial y Total

Optimización Multivariable: El estudio de los incrementos parciales y totales es esencial para la optimización multivariable, donde se busca encontrar puntos críticos y determinar la dirección del cambio más rápido de una función.

Aproximación Numérica: En ingeniería y física, el incremento total se utiliza para aproximar los cambios en sistemas complejos donde las variables cambian simultáneamente.

Modelado de Sistemas: Los incrementos parciales y totales son clave para modelar fenómenos que dependen de múltiples variables, como la transferencia de calor, el flujo de fluidos y otros fenómenos físicos.

Ejemplo de aplicación:

Un consumidor puede comprar dos artículos A y B en cantidades x e y

. La utilidad que se consigue con este consumo viene dada por la función: z=U(x, y)=(xy² )^1/3. Actualmente su consumo es de 24 unidades de A y 3 de B. Calcular:

La utilidad obtenida por el consumo actual.

Δy U(24,3), si Δy =0,5. Interpretar el resultado obtenido.

Si el consumidor decidiera dejar de consumir 4 unidades de A para consumir otras tantas de B ¿Aumentaría con ello la utilidad?

 

 

2.1.8 Conclusión

El análisis de los incrementos parciales y totales en funciones de dos variables es un aspecto fundamental del cálculo diferencial que facilita la comprensión de cómo las variaciones de las variables afectan el comportamiento de una función. A través de aproximaciones lineales, como las derivadas parciales, se pueden hacer estimaciones precisas sobre los cambios en la función cuando las variables experimentan pequeñas modificaciones. Estas herramientas son esenciales en múltiples campos, incluyendo la optimización, el modelado físico y la ingeniería.

La continuidad de una función de dos variables es un concepto fundamental en el cálculo multivariable, estrechamente relacionado con el comportamiento suave y predecible de las funciones en su dominio.

Un ejemplo que ilustra este concepto es una función cuyo dominio incluye discontinuidades, como puntos donde el valor de la función no está definido o donde la función cambia abruptamente. Estas discontinuidades suelen reflejarse en la gráfica como interrupciones o irregularidades en la superficie. Basándonos en los textos de Piskunov (1977) y Thomas (2010), podemos entender este tema desde una perspectiva teórica y práctica.

Piskunov describe la continuidad como la propiedad que permite que pequeños cambios en las variables independientes x e y resulten en pequeños cambios en el valor de la función z=f(x,y). Esto implica que la gráfica de la función, interpretada como una superficie en el espacio tridimensional, no presenta rupturas, saltos ni discontinuidades.

Thomas, por su parte, establece que para que una función f(x,y) sea continua en un punto (a,b), deben cumplirse tres condiciones esenciales.

La continuidad no solo es un tema teórico, sino también una herramienta práctica para modelar fenómenos naturales y resolver problemas en diversas disciplinas. A lo largo del estudio de este concepto, es crucial analizar tanto las definiciones formales como los ejemplos gráficos que facilitan su comprensión y aplicación.

 

2.2.1 Definición de Continuidad de una Función de dos Variables

Una función z=f(x,y) de dos variables es continua en un punto M₀(x₀,y₀) si, al acercarse al punto M₀(x₀,y₀) desde cualquier dirección, el valor de la función se aproxima al valor de la función en ese punto, a lo que se denomina vecindad del punto .

Definición: Sea M₀(x₀,y₀) el punto que pertenece al dominio de definición de la función f(x,y). se dice que la función z=f(x,y) es continua en el punto M₀(x₀,y₀), si se cumple la igualdad:

lim f(x, y)= f(x₀,y₀)

x→ x₀

y→ y₀

Es decir, el límite de la función f(x,y) cuando (x,y) se acerca a M₀(x₀,y₀) debe ser igual al valor de la función en ese punto. La continuidad en dos variables depende del comportamiento del límite en todas las direcciones posibles en el plano xy.

Si la condición anterior no se cumple en en cierto punto N(x₀,y₀), este se llama punto de discontinuidad de la función z=f(x,y).

Si reescribimos las variables x=x₀+Δx, y= y₀+Δy, entonces la ecuación de la definición se puede escribir como:

lim f(x₀+Δx, y₀+Δy)= f(x₀,y₀)

Δx → 0

Δy → 0

 

Al tratarse de incrementos perpendiculares en un plano, se puede utilizar el teorema de Pitágoras Δρ=( Δx²+ Δy²)^1/2, cuando Δx, Δy tienden a 0, entonces Δρ tiende a 0, se tiene que:

lim [f(x₀+Δx, y₀+Δy)- f(x₀,y₀)]=0

Δx → 0

Δy → 0

Sin embargo, [f(x₀+Δx, y₀+Δy)- f(x₀,y₀)] representa el incremento total Δz, por tanto:

lim Δz =0

Δρ → 0

 

Entonces, una función continua en cada punto de un cierto dominio D, se llama continua en ese dominio.

2.2.2 Condiciones de Continuidad

De acuerdo con los libros de Piskunov (1977) y Thomas (2010), para que una función f(x,y) sea continua en un punto (x₀,y₀), deben cumplirse tres condiciones:

Existencia del valor de la función en el punto: f(x₀,y₀) debe estar definido.

Existencia del límite de la función cuando (x,y)→ (x₀,y₀): El límite debe existir de manera independiente de la dirección desde la que se acerquen los puntos (x,y) a (x₀,y₀).

Igualdad entre el límite y el valor de la función: El límite de la función debe coincidir con el valor de la función en el punto de interés:

lim f(x, y)= f(x₀,y₀)

x→ x₀

y→ y₀

 

 

Ejemplo de Función Continua

Consideremos la función z=f(x,y)=x²+y³

Esta es una función continua en todos los puntos (x,y) del dominio D que resulta ser todo el plano xy (No existen puntos impedidos x, y para que exista z)

Δz=[(x +Δx)²+(y+Δy)²− (x²+y²)]

Δz=2x Δx+3y²Δy+3yΔy² + Δx²+Δy³

 

Por tanto:

lim Δz=0

Δx → 0

Δy → 0

 

 

Nota. Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

Ejemplo de función no Continua

Consideremos la función z=f(x,y)=2xy/(x²+y² )

Esta es una función no continua en todos los puntos (x,y) elemento de los reales, la discontinuidad se presenta en el punto (0,0) porque no existe división para 0 (Si existen puntos impedidos x, y para que exista z)

 

Nota. Creación del autor generada en Wolfram Mathematica

 

2.2.3 Conclusión

La continuidad de funciones de dos variables es fundamental para el estudio del cálculo multivariable. A través de la comprensión de los límites y la forma en que se comporta una función en diferentes trayectorias, los estudiantes pueden identificar puntos de discontinuidad y comprender cómo se puede modelar el comportamiento de una función en su dominio. La clave es verificar la existencia del límite, y en caso de que no sea uniforme, concluir que la función no es continua en el punto.