El estudio del dominio de una integral triple es una etapa esencial en la evaluación de integrales que involucran funciones de tres variables independientes. Básicamente, este análisis nos permite identificar el conjunto de puntos en el espacio tridimensional donde la función está definida y donde la integral se evaluará. Este proceso no solo es clave desde un punto de vista matemático, sino que también tiene aplicaciones prácticas en áreas como la física, la ingeniería y la estadística, donde es común trabajar con volúmenes y distribuciones en el espacio.

Tal como lo plantean Piskunov (1977) y Thomas G.B. (2010), entender el dominio de una integral triple no es únicamente una cuestión de técnica matemática. Es una herramienta poderosa que nos ayuda a modelar y resolver problemas tridimensionales complejos. Ambos autores destacan la importancia de visualizar y delimitar el dominio, ya que esta etapa inicial puede determinar la precisión y el éxito del cálculo integral. Además, este enfoque es esencial para quienes buscan aplicar las matemáticas a situaciones del mundo real, donde la geometría y las propiedades del espacio desempeñan un papel crucial.

Por eso, comprender el dominio no es solo un paso previo al cálculo, es una forma de interpretar y conectar los problemas matemáticos con sus representaciones físicas.

 

9.1.1 Definición de una integral triple

Sea f(x,y,z) una función definida en una región del espacio tridimensional. La integral triple de f(x,y,z) sobre una región V se expresa como:

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV$

donde dV representa el elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas, dado por dx dy dz. El dominio V define los límites de integración y describe la región del espacio sobre la cual se evalúa la integral.

dV=dxdydz

9.1.2 Caracterización del dominio

El dominio D de una integral triple puede ser descrito por desigualdades que definen sus límites en las tres dimensiones. En coordenadas cartesianas, estos límites se expresan mediante:

Intervalo para x: Determinado por a≤ x ≤b.

Intervalo para y: Puede depender de x, es decir, g1(x) ≤ y ≤ g2(x).

Intervalo para z: Puede depender de x y y, de manera que h1(x,y) ≤ z ≤h2(x,y).

Así, la región D se define por el conjunto de puntos (x,y,z) que satisfacen las desigualdades antes mencionadas. El orden de integración influye en la forma de expresar el dominio, por lo que puede ser necesario reorganizar los límites según el orden seleccionado para evaluar la integral.

De forma general la integral triple se expresa como:

 

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_a^b{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(x,y)}^{h2(x,y)}f(x,y,z)dzdydx$

 

9.1.3 Clasificación de dominios

Dominios rectangulares: La región V tiene límites constantes en las tres direcciones, es decir, a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d y e ≤ z ≤ f. Este caso es el más simple y resulta en límites de integración independientes, su representación es un paralelepípedo rectangular.

 

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Dominios generales: La región está delimitada por superficies curvas o planos, y los límites de integración en una variable dependen de las otras dos. Por ejemplo, una región comprendida entre dos paraboloides o entre un plano y una esfera.

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

9.1.4 Representación gráfica del dominio

Para visualizar y comprender el dominio V, es fundamental utilizar representaciones gráficas en tres dimensiones. Estas representaciones permiten identificar claramente las fronteras de la región y la relación entre las variables. Los gráficos incluyen:

Proyecciones en planos coordenados: La región V puede proyectarse en los planos xy, xz o yz para simplificar el análisis de sus límites.

 

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

Superficies tridimensionales: Utilizadas para describir las superficies que delimitan el dominio. Por ejemplo, un cilindro definido por $x^2+y^2\le R^2$ y delimitado en z por 0≤z≤h.

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Ejemplo 1

Considérese el dominio de integración una región V limitada por un cilindro de radio R, centrado en el eje z, y comprendida entre los planos z=0 y z=h. Determinar los límites de integración de:

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV$

 

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Descripción del dominio:

Para x y y, el cilindro impone la condición $x^2+y^2\le R^2$

Para z, los límites son 0≤z≤h.

 

Límites de integración:

x varía de −R a R.

Para cada valor de x, y varía de $-\sqrt{R^2-x^2}$​ a $\sqrt{R^2-x^2}$​.

Para cada par (x, y), z varía de 0 a h.

La integral triple se plantea entonces como:

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_{-R}^R{\int }_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}{\int }_0^{h}f(x,y,z)dzdydx$

 

Ejemplo 2

Considérese el dominio de integración una región V limitada por los planos x=0, y=0, z=0, x+y+z=1. Determinar los límites de integración de:

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV$

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Descripción del dominio:

Para x, y, z el plano impone la condición $x+y+z\le 1$

Si x=0, en el plano yz, se forma la recta y+x=1

Si y=0, en el plano xz, se forma la recta x+z=1

Si z=0, en el plano xy, se forma la recta x+y=1, y=1-x

Para x, y, z, los límites son x≥0, y≥0, z≥0.

 

Límites de integración:

x varía de 0 a 1.

Para cada valor de x, y varía de 0​ a 1-x​.

Para cada par (x, y), z varía de 0 a 1-x-y .

La integral triple se plantea entonces como:

 

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_0^1{\int }_0^{1-x}{\int }_0^{1-x-y}f(x,y,z)dzdydx$

 

Ejemplo 3

Considérese el dominio de integración una región V limitada por las superficies $z=1-x^2-y^2$, z=0. Determinar los límites de integración de:

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV$

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Descripción del dominio:

Para x, y, z el plano impone la condición $x^2+y^2+z\le 1$; $z=1-x^2-y^2$

Si x=0, en el plano yz, se forma la curva $y^2+z=1$

Si y=0, en el plano xz, se forma la curva $x^2+z=1$

Si z=0, en el plano xy, se forma la curva $x^2+y^2=1$; $y=\pm \sqrt{1-x^2}$

Para x, y, z, los límites son x≥0, y≥0, z≥0.

 

Límites de integración:

x varía de -1 a 1.

Para cada valor de x, y varía de $-\sqrt{1-x^2}$​ a $\sqrt{1-x^2}$

Para cada par (x, y), z varía de 0 a $z=1-x^2-y^2$

La integral triple se plantea entonces como:

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_{-1}^1{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}{\int }_0^{1-x^2-y^2}f(x,y,z)dzdydx$

 

Ejemplo 4

Considérese el dominio de integración una región V limitada por las superficies $x^2+y^2+z^2=1$, z=-1, z=1. Determinar los límites de integración de:

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV$

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Descripción del dominio:

Para x, y, z el plano impone la condición $x^2+y^2+z^2\le 1$; $z=\pm \sqrt{1-x^2-y^2}$

Si x=0, en el plano yz, se forma la curva $y^2+z^2=1$

Si y=0, en el plano xz, se forma la curva $x^2+z^2=1$

Si z=0, en el plano xy, se forma la curva $x^2+y^2=1$; $y=\pm \sqrt{1-x^2}$

Para x, y, z, los límites son x≥0, y≥0, z≥0.

 

Límites de integración:

x varía de -1 a 1.

Para cada valor de x, y varía de $-\sqrt{1-x^2}$​ a $\sqrt{1-x^2}$

Para cada par (x, y), z varía de $-\sqrt{1-x^2-y^2}$ a $\sqrt{1-x^2-y^2}$

 

La integral triple se plantea entonces como:

 

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_{-1}^1{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}{\int }_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}f(x,y,z)dzdydx$

 

9.1.5 Aplicaciones prácticas

El análisis del dominio de una integral triple tiene aplicaciones en diversas áreas:

Ingeniería: Cálculo de volúmenes de estructuras complejas, como tanques o piezas mecánicas.

Física: Determinación de la masa o el momento de inercia de cuerpos con densidad variable.

Ciencias ambientales: Modelado de volúmenes de agua o aire en estudios de contaminación.

Ejemplo de aplicación en la vida real: Cálculo del volumen de un tanque de almacenamiento cilíndrico truncado

Se desea calcular el volumen de un tanque de almacenamiento que tiene forma cilíndrica con una base circular y una altura truncada por un plano inclinado. Este tipo de problema surge comúnmente en ingeniería industrial para determinar la capacidad de almacenamiento de líquidos en tanques no completamente llenos.

Aplicación en la vida real

Este cálculo permite determinar el volumen exacto del tanque y ajustarlo a las necesidades de almacenamiento de líquidos como agua, petróleo o productos químicos en condiciones específicas. También ayuda en el diseño eficiente de tanques para maximizar la capacidad y minimizar los costos de materiales al tener en cuenta factores geométricos como planos inclinados o bases irregulares.

9.1.6 Conclusión

El cálculo del dominio en una integral triple es un paso crucial que asegura la correcta definición de la región de integración. Este proceso requiere interpretar y describir adecuadamente las fronteras del dominio en términos de desigualdades. Los libros de N. Piskunov y Thomas G.B. proporcionan las herramientas teóricas y prácticas para dominar esta técnica, fundamental en el análisis de problemas tridimensionales complejos.

La división del dominio en una integral triple es una herramienta esencial para abordar el cálculo de volúmenes y resolver problemas que involucran funciones de tres variables independientes. Este procedimiento nos permite descomponer una región tridimensional en partes más simples y manejables, lo que facilita enormemente la evaluación de la integral. ¿Por qué es importante? Porque muchas veces nos enfrentamos a dominios con geometrías complejas, que no se ajustan a un único sistema de límites. En estos casos, dividir el dominio en regiones más pequeñas es no solo práctico, sino necesario para simplificar el cálculo.

Como lo destacan Piskunov (1977) y Thomas G.B. (2010), esta técnica no es solo una cuestión de simplificación; también es una forma de entender mejor la estructura del espacio en el que trabajamos. Ambos autores subrayan cómo la elección adecuada de la división y de los límites puede marcar la diferencia entre un cálculo exitoso y uno que se vuelve inabordable. Además, este enfoque tiene aplicaciones prácticas en diversas disciplinas, como la física y la ingeniería, donde modelar fenómenos tridimensionales requiere precisión tanto en la formulación como en la interpretación de los resultados.

 

9.2.1 Fundamentos teóricos

En coordenadas cartesianas, una integral triple se representa como:

 

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV$

 

donde V es la región tridimensional de integración y dV es el elemento diferencial de volumen, típicamente expresado como dx dy dz. Para regiones complejas, V puede dividirse en subregiones más manejables V1,V2,…,Vn, permitiendo evaluar la integral como la suma de integrales en cada subregión:

 

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\iiint }_{V1}^{}f\left(x,y,z\right)dV+{\iiint }_{V2}^{}f\left(x,y,z\right)dV+\dots +{\iiint }_{Vn}^{}f\left(x,y,z\right)dV$

 

La división del dominio puede basarse en superficies de separación definidas por ecuaciones explícitas o implícitas, dependiendo de las características del problema. En general, el procedimiento incluye:

Identificación de la región V: Determinar los límites generales del dominio.

División en subregiones: Definir las subregiones V1, V2 con límites claros y manejables.

Planteamiento de las integrales: Establecer las expresiones de las integrales en cada subregión.

Evaluación de las integrales: Calcular cada integral y sumar los resultados.

Ejemplo 5

Considérese el dominio de integración una región V limitada por un cilindro de radio R=1 y altura 2, con z variando entre 0 y 2. Cuando z varía entre 0 y 1, $x^2+y^2\le 1$ , y cuando z varía entre 1 y 2, $x\ge 0$. Determinar los límites de integración de:

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV$

 

 

 

 

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Identificación de la región V:

La base es un cilindro: $x^2+y^2\le 1$

La altura está dada por: 0≤ z ≤2.

 

División del dominio:

Dividimos el dominio en dos subregiones correspondientes a V1, V2:

 

V1: -1≤x≤1, $-\sqrt{1-x^2}$ ≤ y ≤$\sqrt{1-x^2}$ 0 ≤ z ≤ 1

V2: 0≤x≤1, $-\sqrt{1-x^2}$ ≤ y ≤$\sqrt{1-x^2}$ 1 ≤ z ≤ 2

 

Planteamiento de la integral en V1 (cilindro completo con z entre 0 y 1):

${\iiint }_{V1}^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_{-1}^1{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2} }{\int }_0^{1}f(x,y,z)dzdydx$

Planteamiento de la integra en V2 (medio cilindro con z entre 1 y 2):

 

${\iiint }_{V2}^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_0^1{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2} }{\int }_1^{2}f(x,y,z)dzdydx$

 

 

Conclusión: La integral con el dominio total V, viene dada por la suma de las integrales con los dos subdominios V1 y V2:

 

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\iiint }_{V1}^{}f\left(x,y,z\right)dV+{\iiint }_{V2}^{}f\left(x,y,z\right)dV$

 

${\iiint }_{V1}^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_{-1}^1{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2} }{\int }_0^{1}f(x,y,z)dzdydx+{\int }_0^1{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2} }{\int }_1^{2}f(x,y,z)dzdydx$

 

9.2.2 Aplicaciones en la vida real

Las integrales triples tienen amplias aplicaciones prácticas:

Ingeniería: Cálculo de centros de masa y momentos de inercia en estructuras como puentes y vehículos.

Física: Análisis de campos electromagnéticos y dinámica de fluidos.

Geografía: Estimación de volúmenes de cuencas y dispersión de contaminantes.

Medicina: Reconstrucción de imágenes tridimensionales y cálculo de volúmenes en tomografías.

Diseño 3D: Modelado de objetos con propiedades físicas realistas en simulaciones.

Estas aplicaciones muestran la conexión entre las herramientas matemáticas y la resolución de problemas reales en diversos campos.

 

9.2.3 Conclusión

El análisis y la división del dominio en integrales triples facilitan el cálculo de propiedades tridimensionales en problemas complejos. Como destacan Piskunov (1977) y Thomas (2010), estas herramientas son esenciales tanto en la teoría como en aplicaciones prácticas, vinculando el cálculo matemático con soluciones reales en ciencia, ingeniería y tecnología.

 

Dominio regular tridimensional

Un dominio V, limitado por una superficie cerrada S, se llama dominio regular tridimensional si cumple con las siguientes condiciones:

• Toda recta paralela al eje z que pasa por un punto interior al volumen V, corta a la superficie S en dos puntos.
• Todo dominio V (volumen), al proyectarse sobre el plano x,y, forma un dominio D (área)en dos dimensiones.

Toda parte del dominio V cortado por planos paralelos xy, xz, yz, también tiene las dos propiedades anteriores.

Ejemplos de dominios tridimensionales regulares son por ejemplo un elipsoide, un paralelepípedo rectangular y un tetraedro entre otros.

El concepto de orden de límites de integración es un aspecto clave cuando nos enfrentamos al cálculo de integrales dobles y triples. En esencia, define el orden en que evaluamos las variables que intervienen dentro de una integral definida sobre un dominio específico. Esta idea no es meramente técnica; está profundamente vinculada con cómo identificamos las funciones y las constantes que limitan dicho dominio. Imagina que el orden de integración funciona como una guía que nos permite recorrer el espacio de forma organizada y eficiente, adaptándonos a las características del problema.

Tanto N. Piskunov (1977) como Thomas G.B. (2010) destacan la relevancia de este tema como una herramienta fundamental del cálculo integral. Ambos autores no solo proporcionan los fundamentos teóricos necesarios, sino también ejemplos claros y aplicaciones prácticas que facilitan su comprensión. A través de sus textos, es posible explorar cómo el orden de integración influye en la simplicidad y viabilidad de resolver una integral. Comprender y dominar este concepto resulta esencial, no solo en el ámbito académico, sino también en aplicaciones prácticas, como las que encontramos en la física, la ingeniería y las ciencias computacionales.

 

10.1.1 Definición y Fundamentos Teóricos

El orden de límites de integración se refiere a la secuencia en la cual se integran las variables en una integral múltiple. En una integral doble, por ejemplo, ${\iint }_D^{}f\left(x,y\right)dA$, el orden con el que se define dA puede ser dx dy o dy dx. De manera similar, en una integral triple, ${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV$, el orden con el que se define el diferencial de volumen dV puede variar según las variables x, y y z.

El orden de integración depende de cómo esté definido el dominio D o V y de la complejidad de las funciones que delimitan dicho dominio. Por ejemplo:

Integrales Dobles: En un dominio D definido por funciones de x y y, el orden dx dy implica que se evalúan primero los límites respecto a x y luego los de y. Si el orden cambia a dy dx , los límites se ajustan en consecuencia.

Integrales Triples: En un dominio tridimensional V, el orden de integración podría ser, por ejemplo, dx dy dz, dz dx dy dz, u otra combinación, dependiendo de cómo esté delimitado el volumen.

El establecimiento del orden correcto de los límites permite simplificar el proceso de cálculo y evitar errores. La elección del orden se basa en criterios como:

• La naturaleza geométrica del dominio.
• La simplicidad de las funciones que lo delimitan.
• La conveniencia computacional para resolver las integrales.

10.1.2 Importancia Práctica del Orden de Límites

El orden de límites de integración tiene aplicaciones en diversas disciplinas, incluyendo:

Ingeniería: Cálculo de áreas y volúmenes en diseños estructurales.

Física: Determinación de distribuciones de masa o densidad en sistemas materiales.

Economía: Evaluación de funciones de beneficio o costo en regiones bidimensionales o tridimensionales.

Ejemplo 1

Determinar los límites de integración de la integral triple, conociendo que el dominio de integración es V que representa el volumen de un paraboloide definido por ${z=4-x}^2-y^2$ , sobre el plano z=0:

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Solución:

El paraboloide está dado por:

${z=4-x}^2-y^2$

 

El plano z=0, al tener intersección con el paraboloide, genera una sección circular en el plano x,y, dando lugar a la condición:

 

${0\le z\le 4-x}^2-y^2$

La sección circular es un disco:

 

$x^2+y^2\le 4$

 

Definición del dominio:

En coordenadas cartesianas, el dominio en el plano xy es una zona circular de radio 2, dado por$x^2+y^2\le 4$.

 

$x^2+y^2=4$

$y=\pm \sqrt{4-x^2}$ ; con signo positivo la mitad superior del círculo, negativo la mitad inferior del círculo de radio 2.

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

 

Los límites en z serían: $0\le {z \le 4-x}^2-y^2$.

 

Planteamiento de la integral triple:

Con el orden dz dy dx dz :

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_a^b{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(x,y)}^{h2(x,y)}f(x,y,z)dzdydx$

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_{-2}^2{\int }_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}{\int }_0^{4-x^2-y^2}f(x,y,z)dzdydx$

 

Ejemplo 2

Determinar los límites de integración de la integral triple, conociendo que el dominio de integración es V que representa el volumen de un paralelepípedo rectangular definido por:

$-1\le x\le 4$

$2\le y\le 5$

$-3\le z\le 2$

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Solución:

El paralelepípedo tiene caras rectangulares con límites constantes

1. Definición del dominio:

En coordenadas cartesianas, el dominio en el plano xy es un rectángulo formado por:

$-1\le x\le 4 2\le y\le 5$

 

Los límites en z serían: $-3\le z\le 2$que representa la altura

 

2. Planteamiento de la integral triple:

Con el orden dx dy dz :

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_e^f{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(y,z)}^{h2(y,z)}f(x,y,z)dxdydz$

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_{-3}^2{\int }_2^5{\int }_{-1}^{4}f(x,y,z)dxdydz$

 

Este ejemplo destaca la importancia de seleccionar un orden adecuado para simplificar el proceso de integración.

10.1.3 Conclusión

El orden de los límites de integración es fundamental en el cálculo de integrales múltiples, especialmente al trabajar con dominios complejos. Cambiar este orden no solo simplifica los cálculos, sino que también permite abordar problemas difíciles de resolver. Este procedimiento, esencial para el cálculo de áreas, volúmenes y problemas tridimensionales, tiene aplicaciones en matemáticas aplicadas, ingeniería, física y diversas ciencias.

Los textos de Piskunov (1977) y Thomas G.B. (2010) ofrecen una base sólida para comprender este concepto, proporcionando explicaciones claras y ejemplos prácticos. Estas obras destacan la importancia de identificar correctamente las relaciones entre las variables y los límites, mostrando cómo un cambio estratégico puede simplificar significativamente la solución de una integral.

 

 

El cambio de orden de límites de integración es una herramienta poderosa y esencial en el cálculo de integrales dobles y triples, diseñada para simplificar la resolución de problemas complejos al reorganizar el orden en el que se evalúan las variables. Esta técnica resulta particularmente útil cuando el dominio de integración presenta límites que dificultan la evaluación directa en el orden original. A través de un análisis cuidadoso de las funciones y constantes que delimitan el dominio, podemos redefinir los límites para adaptarlos a un enfoque más eficiente.

Tanto N. Piskunov (1977) como Thomas G.B. (2010) abordan este tema en profundidad, destacando su importancia y proporcionando una metodología clara y rigurosa para su aplicación. En sus textos, se enfatiza cómo el cambio de orden no solo facilita los cálculos, sino que también ofrece una perspectiva más amplia para comprender la relación entre las variables y el dominio de integración. Además, esta técnica tiene aplicaciones prácticas significativas en campos como la física, la ingeniería y las matemáticas aplicadas, donde los dominios complejos son comunes. Comprender cómo y cuándo utilizar esta estrategia es clave para enfrentar con éxito problemas avanzados en el cálculo integral.

 

10.2.1 Fundamentos Teóricos

El cambio de orden de límites de integración se aplica principalmente cuando el dominio de integración es más fácil de describir o de integrar en un orden diferente al que inicialmente se plantea. Dado un dominio V sobre el cual se define una integral triple:

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_a^b{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(x,y)}^{h2(x,y)}f(x,y,z)dzdydx$

 

el cambio de orden implica reorganizar los límites de integración para que la integral adopte la forma:

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_e^f{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(y,z)}^{h2(y,z)}f(x,y,z)dxdydz$

 

Esto requiere una redefinición del dominio V en términos de las nuevas variables de integración, asegurándose de que los límites reflejen con precisión el volumen de integración.

 

 

10.2.2 Procedimiento General

Identificación del dominio: Se comienza analizando el dominio de integración en el sistema original. Esto implica determinar las funciones y constantes que delimitan V.

Reexpresión del dominio: Se reescribe V en términos de las nuevas variables, asegurándose de que las desigualdades representen el mismo conjunto de puntos.

Reorganización de los límites: Una vez definido el dominio en el nuevo orden, se reorganizan los límites en consecuencia, considerando primero los límites internos y luego los externos.

Evaluación de la integral: Se lleva a cabo el cálculo con los nuevos límites de integración, lo que puede simplificar significativamente el proceso.

10.2.3 Cambio de Orden

El cambio de orden de integración no altera su resultado, ya que se conserva el mismo volumen de integración, aunque este sea descrito de manera diferente. Sin embargo, dependiendo del nuevo orden elegido, la integral puede volverse más sencilla o, por el contrario, más compleja de resolver, lo que subraya la importancia de seleccionar adecuadamente el orden según el problema planteado.

Ejemplo 3

Calcular la integral triple en tres órdenes diferentes de la función ${f(x,y,z)=x}^{2}yz$ conociendo que el dominio de integración es V que representa el volumen de un paralelepípedo rectangular definido por:

$1\le x\le 4$

$2\le y\le 8$

$4\le z\le 6$

 

Solución:

El paralelepípedo tiene caras rectangulares con límites constantes

1. Definición del dominio:

En coordenadas cartesianas, el dominio en el plano xy es un rectángulo formado por:

$1\le x\le 4 2\le y\le 8$

 

Los límites en z serían: $4\le z\le 6$ que representa la altura

 

 

2. Planteamiento de la integral triple:

Con el orden dz dy dx :

 

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_1^4\left({\int }_2^8\left({\int }_4^6{x}^{2}yzdz\right)dy\right)dx$

 

Primero la integral interna: x,y se consideran constantes, la variable es z

 

 

${\int }_4^6{x}^{2}yzdz=x^{2}y{\left(\frac{z^2}{2} \right)}_4^6=10x^{2}y$

 

Segundo la integral respecto a y con el resultado obtenido en la primera integral $10x^{2}y$, considerando x constante.

 

${\int }_2^8\left(10x^{2}y\right)dy=10x^2{\int }_2^{8}y dy=10x^2{\left( \frac{y^2}{2}\right)}_2^8=300x^2$

 

Tercero: La integral respecto a x con el resultado obtenido en la segunda integral $300x^2$

${\int }_1^{4}300x^{2}dx=300{\int }_1^4{x}^{2}dx=300{\left(\frac{x^3}{3} \right)}_1^4=6300$

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_1^4({\int }_2^8\left({\int }_4^6{x}^{2}yzdz\right)dy)dx$= 6300

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Symbolab.

 

 

 

Con el orden dx dy dz :

 

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_4^6\left({\int }_2^8\left({\int }_1^4{x}^{2}yzdx\right)dy\right)dz$

 

Primero: La integral interna: y,z se consideran constantes, la variable es x.

 

${\int }_1^4{x}^{2}yzdx=yz{\left(\frac{x^3}{3} \right)}_1^4=\frac{63}{3}yz$

 

Segundo: La integral respecto a y con el resultado obtenido en la primera integral $\frac{63}{3}yz$, considerando z constante.

 

${\int }_2^8\left(\frac{63}{3}yz\right)dy=\frac{63}{3}z{\int }_2^{8}y dy=\frac{63}{3}z{\left( \frac{y^2}{2}\right)}_2^8=630z$

 

Tercero: La integral respecto a z con el resultado obtenido en la segunda integral $630z$

 

${\int }_4^{6}630zdz=630{\int }_4^{6}zdz=630{\left(\frac{z^2}{2} \right)}_4^6=6300$

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_4^6\left({\int }_2^8\left({\int }_1^4{x}^{2}yzdx\right)dy\right)dz$= 6300

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Symbolab.

 

Con el orden dy dx dz :

 

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_4^6\left({\int }_1^4\left({\int }_2^8{x}^{2}yzdy\right)dx\right)dz$

 

Primero: La integral interna: x,z se consideran constantes, la variable es y.

 

 

${\int }_2^8{x}^{2}yzdy=x^{2}z{\left(\frac{y^2}{2} \right)}_2^8=30x^{2}z$

 

Segundo: La integral respecto a x con el resultado obtenido en la primera integral $30x^{2}z$ ,considerando z constante.

 

${\int }_1^4\left(30x^{2}z\right)dx=30z{\int }_1^4{x}^2 dx=30z{\left( \frac{x^3}{3}\right)}_1^4=630z$

 

Tercero: La integral respecto a z con el resultado obtenido en la segunda integral $630z$

 

${\int }_4^{6}630zdz=630{\int }_4^{6}zdz=630{\left(\frac{z^2}{2} \right)}_4^6=6300$

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_4^6\left({\int }_1^4\left({\int }_2^8{x}^{2}yzdy\right)dx\right)dz$= 6300

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Symbolab.

 

 

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Las tres expresiones con su propio orden representan el mismo dominio, pero la reorganización puede facilitar el cálculo dependiendo de la función f(x,y,z).

10.2.4 Representación Gráfica

El dominio V, que corresponde a un volumen en el espacio tridimensional, puede representarse gráficamente para facilitar la comprensión de su estructura y límites. Esta representación visual es especialmente útil al aplicar el cambio de orden de límites de integración, ya que nos permite identificar cómo se reorganizan los límites sin alterar el área o el volumen cubierto por el dominio.

Al cambiar el orden de integración, la orientación de los límites se ajusta según las nuevas variables de integración, pero el dominio original permanece inalterado en términos geométricos. Este concepto, discutido en detalle por Piskunov (1977) y Thomas G.B. (2010), es clave para garantizar que el proceso de integración mantenga la consistencia matemática y geométrica. Representar gráficamente el dominio antes y después del cambio de orden es una práctica recomendada para verificar la correcta interpretación de los nuevos límites y para evitar errores en la formulación de la integral.

10.2.5 Conclusión

El cambio de orden de límites de integración es una herramienta poderosa en el cálculo de integrales múltiples, ya que simplifica el proceso al reorganizar el dominio y los límites de integración. Esta técnica es útil para resolver problemas complejos con geometrías complicadas, optimizando el cálculo de áreas, volúmenes y otras propiedades en matemáticas aplicadas, física e ingeniería.

Los textos de Piskunov (1977) y Thomas G.B. (2010) ofrecen una base sólida para comprender esta técnica, proporcionando explicaciones claras y ejemplos prácticos. Ambos autores destacan cómo este método no solo facilita la integración, sino que amplía la comprensión de la relación entre variables y límites del dominio.