El cálculo de integrales triples en coordenadas cartesianas es una herramienta fundamental en el análisis matemático, especialmente para evaluar volúmenes y otras propiedades relacionadas con funciones de tres variables independientes. Esta técnica se aplica ampliamente en diversas áreas, como la física, la ingeniería y las matemáticas aplicadas, donde los problemas suelen requerir una descripción precisa de fenómenos tridimensionales.

Los textos clásicos de N. Piskunov (1977) y Thomas G.B. (2010) abordan este tema con un enfoque riguroso y sistemático, proporcionando a los estudiantes y profesionales una base sólida para comprender y aplicar estas integrales en situaciones prácticas. Ambos autores destacan la importancia de establecer correctamente los límites de integración y de elegir el orden adecuado para el cálculo iterativo. Además, subrayan cómo las coordenadas cartesianas, aunque básicas, son una herramienta poderosa para resolver problemas cuando el dominio de integración y la función se expresan naturalmente en términos de x, y y z.

Esta metodología no solo facilita la resolución de problemas, sino que también permite interpretar los resultados en contextos físicos y geométricos, reforzando la conexión entre las matemáticas abstractas y sus aplicaciones reales.

 

11.1.1 Definición y Contexto

Una integral triple en coordenadas cartesianas permite integrar una función f(x,y,z) sobre una región tridimensional V del espacio. Matemáticamente, se representa como:

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_a^b{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(x,y)}^{h2(x,y)}f(x,y,z)dzdydx$

 

Aquí, dx, dy, y dz representan diferenciales en las direcciones x, y, y z, respectivamente. El dominio de integración V se define mediante funciones y constantes que determinan los límites en cada una de las variables.

11.1.2 Procedimiento General

El proceso para calcular una integral triple en coordenadas cartesianas consta de varios pasos esenciales:

Definir el dominio de integración: Se identifica V, que puede estar delimitado por planos, superficies o regiones específicas en el espacio tridimensional. Este dominio puede expresarse mediante desigualdades en las variables x, y, y z.

Establecer el orden de integración: El orden de integración puede ser dx dy dz, o cualquier otra permutación, dependiendo de la complejidad del dominio y la función f(x,y,z).

Configurar los límites de integración: Los límites externos corresponden a la primera variable a integrar y suelen ser constantes. Los límites intermedios e internos pueden depender de una o más variables integradas previamente.

Evaluar las integrales: Se realiza la integración en el orden establecido, resolviendo primero la integral interna, luego la intermedia, y finalmente la externa.

 

Ejemplo 1

Determinar la integral triple de la función f(x,y,z)=xyz sobre el dominio de integración V que es un tetraedro limitado por los planos x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.

Definir el dominio de integración:

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Definir el orden de integración: vamos a escoger dzdydx

 

 

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_a^b{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(x,y)}^{h2(x,y)}\left(xyz\right)dzdydx$

 

Configurar los límites de integración: partimos del dominio V

$x+y+z=1$, entonces $z=1-x-y$

0≤ z ≤ 1-x-y

$x+y+z=1$, entonces en el plano xy en z=0 $x+y=1$; $y=1-x$

0≤ y ≤ 1-x

$y=1-x$, entonces para y=0; x=1

0≤ y ≤ 1

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_0^1{\int }_0^{1-x}{\int }_0^{1-x-y}\left(xyz\right)dzdydx$

Evaluar las integrales:

Paso 1. Integración respecto a z, se consideran constantes x,y:

 

${\int }_0^{1-x-y}\left(xyz\right)dzdydx=xy{\int }_0^{1-x-y}zdz=xy{\left[ \frac{z^2}{2}\right]}_0^{1-x-y}=xy\frac{{(1-x-y)}^2}{2}$

${\int }_0^{1-x-y}\left(xyz\right)dzdydx=\frac{1}{2}(xy+x^{3}y+x{y}^3-2x^{2}y-2x{y}^2+2x^2{y}^2)$

 

Paso 2. Integración respecto a y, se considera constante x:

Luego de factorar y sumar términos semejantes:

 

${\int }_0^{1-x}\frac{1}{2}(xy+x^{3}y+x{y}^3-2x^{2}y-2x{y}^2+2x^2{y}^2)dy=\frac{1}{24}[x{(1-x)}^4$

 

Paso 3. Integración respecto a x:

 

${\int }_0^1\frac{1}{24}[x{(1-x)}^{4}dx=-\frac{1}{24}{\left[ \frac{{\left(1-x\right)}^5}{5}-\frac{{\left(1-x\right)}^6}{6}\right]}_0^1$

${\int }_0^1\frac{1}{24}[x{(1-x)}^{4}dx= -\frac{1}{24}\{ \left[ \frac{{\left(1-1\right)}^5}{5}-\frac{{\left(1-1\right)}^6}{6}\right]-\left[\frac{{\left(1-0\right)}^5}{5}-\frac{{\left(1-0\right)}^6}{6}\right]\}$

${\int }_0^1\frac{1}{24}[x{(1-x)}^{4}dx= -\frac{1}{24}\left\{ \left[ \frac{{\left(0\right)}^5}{5}-\frac{{\left(0\right)}^6}{6}\right]-\left[\frac{{\left(1\right)}^5}{5}-\frac{{\left(1\right)}^6}{6}\right]\right\}=-\frac{1}{24}\{ \left[ 0\right]-\left[\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right]\}$

${\int }_0^1\frac{1}{24}[x{(1-x)}^{4}dx=-\frac{1}{24}\left\{ -\left[\frac{1}{30}\right]\right\}=\frac{1}{720}$

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Symbolab.

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Symbolab.

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Symbolab.

 

 

Ejemplo 2

Determinar los límites de integración de la integral triple de la función f(x,y,z)=yz sobre el dominio de integración V que es un cilindro $x^2+y^2=3^2$, limitado por los planos z=0, z=4.

Definir el dominio de integración:

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

 

Definir el orden de integración: vamos a escoger dz dy dx

 

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_a^b{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(x,y)}^{h2(x,y)}\left(yz\right)dzdydx$

 

Configurar los límites de integración: partimos del dominio V

0≤ z ≤ 4

$x^2+y^2=3^2$ entonces $y^2=3^2-x^2$, despejando $y=\pm \sqrt{3^2-x^2}$, en el plano xy en z=0, se forma un círculo de radio 3, mitad superior representado por $y=+\sqrt{3^2-x^2}$, mitad inferior representado por $y=-\sqrt{3^2-x^2}$

$-\sqrt{3^2-x^2}$≤ y ≤ $+\sqrt{3^2-x^2}$

$y=\pm \sqrt{3^2-x^2}$, entonces para y=0; x=$\pm 3$

-3≤ y ≤ 3

${\iiint }_V^{}f\left(x,y,z\right)dV={\int }_{-3}^3{\int }_{-\sqrt{3^2-x^2}}^{+\sqrt{3^2-x^2}}{\int }_0^4\left(yz\right)dzdydx$

 

Ejemplo 3 (por resolver)

Calcular la integral triple de la función f(x,y,z)=xz de forma analítica y utilizando Symbolab sobre el dominio de integración V que es un cono

  $\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=\frac{z^2}{4^2}$, limitado por el plano, z=4.

Ejemplo 4 Calcular la integral triple utilizando una aplicación de cálculo de integrales de la función f(x,y,z)=x+y sobre el dominio de integración V que es un sólido en el primer octante limitado por las superficies $x+y=2$; $z=4-y^2$.

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

Solución:

Se puede utilizar el software utilizado en la clase 10

integral de 0 a 2 de integral de 0 a 2-x de integral de 0 a 4-y^2 de (x+y)

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Symbolab.

 

Aprende más

En el siguiente enlace se encuentra un video con el ejemplo 4 bien detallado sobre cálculo de integrales triples en coordenadas cartesianas, para los gráficos utiliza GEOGEBRA ¡Accede aquí!

 

11.1.3 Aplicaciones Prácticas

El cálculo de integrales triples en coordenadas cartesianas tiene aplicaciones en física, ingeniería y otras ciencias aplicadas. Un ejemplo común es determinar la masa de un objeto con densidad variable. Si una región del espacio contiene un material cuya densidad está dada por ρ(x,y,z), la masa total M se calcula mediante:

$M={\iiint }_V^{}\rho \left(x,y,z\right)dV$

Por ejemplo, para un bloque de dimensiones 1×2×3 y densidad ρ(x,y,z)=x+y+z, el cálculo realizado anteriormente representa su masa.

$M={\iiint }_V^{}\rho \left(x,y,z\right)dV={\int }_0^3{\int }_0^2{\int }_0^1\left(x+y+z\right)dxdydz$

 

11.1.4 Conclusión

El cálculo de integrales triples en coordenadas cartesianas es un concepto fundamental que permite evaluar volúmenes y propiedades físicas en espacios tridimensionales, ofreciendo una base sólida para abordar problemas complejos en matemáticas aplicadas y ciencias físicas. Este enfoque no solo es útil para determinar volúmenes, sino también para calcular propiedades como la masa, el centro de masa, y los momentos de inercia en sólidos de diversas formas y composiciones.

La metodología presentada por Piskunov (1977) y Thomas (2010) destaca la importancia de comprender a fondo el dominio de integración y el orden de los límites, enfatizando cómo una adecuada configuración de estos elementos puede simplificar significativamente el proceso de cálculo. Estos textos proporcionan herramientas prácticas y teóricas que permiten adaptar las integrales triples a una amplia variedad de situaciones, desde aplicaciones académicas hasta problemas del mundo real en áreas como la ingeniería y la física.

 

El cálculo de volúmenes mediante integrales triples en coordenadas cartesianas es una herramienta fundamental en el análisis matemático, utilizada para determinar el volumen de una región tridimensional. Este método, ampliamente aplicado en matemáticas puras y aplicadas, se basa en la generalización de la integral doble, extendida a tres dimensiones, lo que permite evaluar integrales sobre dominios sólidos en el espacio.

La técnica se formula mediante la integral triple, utilizada para integrar funciones de tres variables, y se define en coordenadas cartesianas, donde las variables son x, y, z. Esta metodología no solo se limita a calcular volúmenes, sino que también es empleada para determinar propiedades físicas como la masa, el centro de masa y los momentos de inercia de cuerpos tridimensionales. A continuación, los fundamentos de este procedimiento se encuentran detallados en los textos de Piskunov (1977) y Thomas (2010), quienes proporcionan una base teórica sólida y ejemplos prácticos que ilustran su utilidad en diferentes contextos, como la ingeniería y la física.

 

12.1.1 Cálculo de Volúmenes en Coordenadas Cartesianas

Cuando se busca calcular el volumen de un sólido en el espacio tridimensional mediante integrales triples, el procedimiento general implica la evaluación de la integral sobre el dominio específico de la región en cuestión

Ejemplo de Volumen simétrico

Ejemplo 1

Determinar el volumen de un elipsoide generado por la ecuación:

$\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{5^2}+\frac{z^2}{3^2}=1$

 

Definir el dominio de integración:

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

 

Definir el orden de integración: vamos a escoger dz dy dx

 

 

$V\left(En coordenadas cartesianas\right)={\iiint }_V^{}dV={\int }_a^b{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(x,y)}^{h2(x,y)}dzdydx$

 

 

Configurar los límites de integración: partimos del dominio V

Primero: Partimos de la ecuación del elipsoide $\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{5^2}+\frac{z^2}{3^2}=1$, despejamos z en función de x,y

$z=\pm 3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }$

$z=+3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }$ ; límite superior de z

$z=-3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }$; límite superior de z

$-3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }\le z\le +3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }$

 

Segundo: Encontramos la ecuación de la curva en el plano xy realizando z=0 en la ecuación del elipsoide.

 

$\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{5^2}+\frac{0^2}{3^2}=1$

$\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$, despejamos y en función de x, obtenemos:
$y=\pm 5\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2} }$

$y=+5\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2} }$; límite superior de y

$y=-5\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2} }$; límite inferior de y

$-5\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2} }\le y\le +5\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2} }$

 

Tercero: Encontramos los valores de x, realizando y=0 en la ecuación de la curva en el plano xy

$\frac{x^2}{1^2}+\frac{0^2}{5^2}=1$

$\frac{x^2}{1^2}=1$, despejamos x, y obtenemos:

 

$y=\pm 1$

x=+1; límite superior de x

x=-1; límite inferior de x

$-1\le x\le +1$

 

Evaluar las integrales:

$V\left(En coordenadas cartesianas\right)={\iiint }_V^{}dV={\int }_{-1}^1{\int }_{-5\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2} }}^{+5\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2} }}{\int }_{-3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }}^{+3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }}dzdydx$

 

Paso 1. Integración respecto a z, se consideran constantes x,y:

 

${\int }_{-3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }}^{3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }}dz={\left[ z\right]}_{-3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }}^{3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }}=6\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }$

 

Paso 2. Integración respecto a y, se considera constante x:

La integración se realiza mediante sustitución trigonométrica, utilizamos el software Symbolab para su solución, el paso a paso encontramos en el siguiente enlace:

 

${\int }_{-5\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2} }}^{5\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2} }}\left[6\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }\right]dy=15\pi (1-x^2)$

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Symbolab.

 

Paso 3. Integración respecto a x:

La integración se realiza mediante software Symbolab, el paso a paso encontramos en el siguiente enlace:

^ integral de-1 a 1 de 15pi(1-x^2)

${\int }_{-1}^{1}15\pi (1-x^2)dx=20\pi$

 

Resumiendo, el volumen del elipsoide de ecuación $\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{5^2}+\frac{z^2}{3^2}=1$ es:

 

$V\left(En coordenadas cartesianas\right)={\iiint }_V^{}dV={\int }_a^b{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(x,y)}^{h2(x,y)}dz dy dx$

 

$V\left(En coordenadas cartesianas\right)={\iiint }_V^{}dV={\int }_{-1}^1{\int }_{-5\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2} }}^{+5\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2} }}{\int }_{-3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }}^{+3\sqrt{1- \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{5^2} }}dz dy dx$

 

$V\left(En coordenadas cartesianas\right)=20\pi$

 

Nota: El elipsoide es un volumen simétrico, tenemos fórmula para calcular su volumen:

 

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

 

Su volumen se calcula mediante la ecuación:

 

$Volumen \left(V\right)=\frac{4}{3}\pi abc$

 

Contrastación de resultado de cálculo de volumen del elipsoide mediante integral triple

 

Para la ecuación de cálculo de volumen del elipsoide mediante ecuación

 

a=1b=5c=3

 

$Volumen \left(V\right)=\frac{4}{3}\pi \left(1\right)\left(5\right)\left(3\right)=20\pi$

 

El resultado calculado por la ecuación ratifica el valor obtenido mediante integral triple

 

Ejemplo 2

Determinar el volumen de una esfera de radio 3 generado por la ecuación:

$x^2+y^2+z^2=3^2$

 

Definir el dominio de integración:

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

 

Definir el orden de integración: vamos a escoger dz dy dx

 

 

$V\left(En coordenadas cartesianas\right)={\iiint }_V^{}dV={\int }_a^b{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(x,y)}^{h2(x,y)}dzdydx$

 

Configurar los límites de integración: partimos del dominio V

 

Primero: Partimos de la ecuación del elipsoide $x^2+y^2+z^2=3^2$, despejamos z en función de x,y

 

$z=\pm \sqrt{3^2-x^2-y^2 }$

$z=+\sqrt{3^2-x^2-y^2 }$; límite superior de z

$z=-\sqrt{3^2-x^2-y^2 }$; límite superior de z

$z=\pm \sqrt{3^2-x^2-y^2 }$

$-\sqrt{3^2-x^2-y^2 }\le z\le +\sqrt{3^2-x^2-y^2 }$

 

Segundo: Encontramos la ecuación de la curva en el plano xy realizando z=0 en la ecuación del elipsoide.

 

$x^2+y^2+0^2=3^2$

 

$x^2+y^2=3^2$, despejamos y en función de x, obtenemos:

$y=\pm \sqrt{3^2- x^2 }$

$y=+\sqrt{3^2- x^2 }$; límite superior de y

$y=-\sqrt{3^2- x^2 }$; límite inferior de y

$-\sqrt{3^2- x^2 }\le y\le +\sqrt{3^2- x^2 }$

 

Tercero: Encontramos los valores de x, realizando y=0 en la ecuación de la curva en el plano xy

 

$x^2+y^2=3^2$

 

$x^2=3^2$, despejamos x, y obtenemos:

 

$x=\pm 3$

x=+3; límite superior de x

x=-3; límite inferior de x

$-3\le x\le +3$

 

Evaluar las integrales:

$V\left(En coordenadas cartesianas\right)={\iiint }_V^{}dV={\int }_{-3}^3{\int }_{-\sqrt{3^2- x^2 }}^{+\sqrt{3^2- x^2 }}{\int }_{-\sqrt{3^2-x^2-y^2 }}^{+\sqrt{3^2-x^2-y^2 }}dzdydx$

 

Paso 1. Integración respecto a z, se consideran constantes x,y:

 

${\int }_{-\sqrt{3^2-x^2-y^2 }}^{+\sqrt{3^2-x^2-y^2 }}dz={\left[z \right]}_{-\sqrt{3^2-x^2-y^2 }}^{\sqrt{3^2-x^2-y^2 }}=2\sqrt{3^2-x^2-y^2 }$

 

Paso 2. Integración respecto a y, se considera constante x:

 

 

${\int }_{-\sqrt{3^2-x^2 }}^{\sqrt{3^2-x^2 }}\left[2\sqrt{3^2-x^2-y^2 }\right]dy=\pi (9-x^2)$

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Symbolab.

 

Paso 3. Integración respecto a x:

La integración se realiza mediante software Symbolab, el paso a paso encontramos en el siguiente enlace:

^ integral de-1 a 1 de 15pi(1-x^2)

${\int }_{-3}^3\pi (9-x^2)dx=9\pi {\left[x\right]}_{-3}^3-\pi {\left[ \frac{x^3}{3}\right]}_{-3}^3=54\pi -18\pi =36\pi$

 

Resumiendo, el volumen de la esfera de radio 3 descrito por la ecuación $x^2+y^2+z^2=3^2$ es:

 

$V\left(En coordenadas cartesianas\right)={\iiint }_V^{}dV={\int }_a^b{\int }_{g1\left(x\right)}^{g2\left(x\right)}{\int }_{h1(x,y)}^{h2(x,y)}dzdydx$

 

$V\left(En coordenadas cartesianas\right)={\iiint }_V^{}dV={\int }_{-3}^3{\int }_{-\sqrt{3^2- x^2 }}^{+\sqrt{3^2- x^2 }}{\int }_{-\sqrt{3^2-x^2-y^2 }}^{+\sqrt{3^2-x^2-y^2 }}dzdydx$

 

 

$V\left(En coordenadas cartesianas\right)=36\pi$

 

Nota: La esfera es un volumen simétrico, tenemos fórmula para calcular su volumen:

$x^2+y^2+z^2=R^2$

 

Su volumen se calcula mediante la ecuación:

 

$Volumen \left(V\right)=\frac{4}{3}\pi R^3$

 

Contrastación de resultado de cálculo del volumen del elipsoide mediante integral triple

 

Para la ecuación de cálculo de volumen del elipsoide mediante ecuación

R=3

$Volumen \left(V\right)=\frac{4}{3}\pi 3^3=36\pi$

 

El resultado calculado por la ecuación ratifica el valor obtenido mediante integral triple

12.1.2 Conclusión

El cálculo de volúmenes mediante integrales triples en coordenadas cartesianas es una herramienta poderosa para determinar el volumen de sólidos en el espacio tridimensional. Al extender el concepto de la integral doble a tres dimensiones, se obtiene un método eficaz para calcular volúmenes de objetos complejos

El cálculo de volúmenes mediante integrales de funciones en coordenadas cilíndricas y esféricas es una extensión del cálculo en coordenadas cartesianas que resulta particularmente útil cuando se trabaja con dominios que poseen simetría cilíndrica o esférica. Este enfoque facilita la simplificación de los límites de integración y el manejo de funciones que se describen mejor en estos sistemas de coordenadas, ahorrando tiempo y esfuerzo en la resolución de problemas complejos.

En el caso de las coordenadas cilíndricas, las variables r, θ, y z permiten representar puntos en el espacio con base en un sistema que combina un plano polar con una altura, lo que resulta ideal para analizar cilindros, tuberías o regiones con simetría rotacional. Por otro lado, las coordenadas esféricas, definidas por r, θ, y ϕ, son especialmente adecuadas para estudiar objetos con simetría radial, como esferas, casquetes esféricos o distribuciones de masa en cuerpos celestes.

La metodología para integrar en estos sistemas implica el uso de factores diferenciales específicos, como r dr dθ dz en coordenadas cilíndricas y r2 sen⁡ϕ dr dθ dϕ en esféricas, lo que asegura una representación precisa del volumen bajo estudio. Tanto Piskunov (1977) como Thomas (2010) profundizan en estas técnicas, ilustrando cómo estas coordenadas amplían el alcance del cálculo integral y ofrecen soluciones más prácticas y eficientes en numerosos problemas de física, ingeniería y matemáticas aplicadas.

 

12.2.1 Coordenadas Cilíndricas

La transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas se expresa como:

x=rcosθ y=rsenθ z=z $r^2=x^2+y^2$

El elemento de volumen en coordenadas cilíndricas está dado por:

dV=r dr dθ dz.

Evaluación de la Integral

Una integral triple en coordenadas cilíndricas tiene la forma general:

 

$V\left(En coordenadas cilíndricas\right)= {\iiint }_V^{}dV={\int }_{\alpha }^{\beta }{\int }_{g1\left(\theta \right)}^{g2\left(\theta \right)}{\int }_{h1(r,\theta )}^{h2(r,\theta )}rdzdrd\theta$

 

Ejemplo de Volumen en Coordenadas Cilíndricas

Ejemplo 3

Utilizando integral triple en coordenadas cilíndricas, calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies:

z=0, $x^2+y^2=1$; $x+y+z=3$

 

Definir el dominio de integración:

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

 

 

Definir el orden de integración: vamos a escoger rdzdrd$\theta$

 

$V\left(En coordenadas cilíndricas\right)= {\iiint }_V^{}dV={\int }_{\alpha }^{\beta }{\int }_{g1\left(\theta \right)}^{g2\left(\theta \right)}{\int }_{h1(r,\theta )}^{h2(r,\theta )}rdzdrd\theta$

 

 

Configurar los límites de integración: partimos del dominio V

 

Primero: Partimos de la ecuación del plano ; $x+y+z=3$ $$despejamos z en función de x,y

$z=3-x-y$; reemplazamos x=rcosθ y=rsenθ

$z=3-rcos\theta -rsen\theta$

$z=3-rcos\theta -rsen\theta$ ; límite superior de z

$z=0$; límite superior de z

$0\le z\le 3-rcos\theta -rsen\theta$

 

Segundo: En el plano x,y se encuentra el círculo $x^2+y^2=1$, el radio r=1

$0\le r\le 1$

Tercero: Encontramos la variación de $\theta$:

$0\le \theta \le 2\pi$

Evaluar las integrales:

 

$V\left(En coordenadas cilíndricas\right)= {\iiint }_V^{}dV={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{\int }_0^{3-rcos\theta -rsen\theta }rdzdrd\theta$

 

Paso 1. Integración respecto a z, se consideran constantes r, $\theta$:

 

${\int }_0^{3-rcos\theta -rsen\theta }dz={\left[z \right]}_0^{3-rcos\theta -rsen\theta }=3-rcos\theta -rsen\theta$

 

Paso 2. Integración respecto a r, se considera constante $\theta$:

 

${\int }_0^1\left( 3-rcos\theta -rsen\theta \right)rdr={\left[\frac{3r^2}{2}\right]}_0^1-[{\frac{r^3}{3}]}_0^{1}cos\theta -{\left[\frac{r^3}{3} \right]}_0^{1}sen\theta =\frac{3}{2}-\frac{1}{3}cos\theta -\frac{1}{3}sen\theta$

 

Paso 3. Integración respecto a $\theta$:

 

${\int }_0^{2\pi }\left( \frac{3}{2}-\frac{1}{3}cos\theta -\frac{1}{3}sen\theta \right)d\theta =\frac{3}{2}2\pi -\frac{1}{3}[{sen\theta ]}_0^{2\pi }-\frac{1}{3}{[-cos\theta ]}_0^{2\pi }=3\pi$

$Volumen= {\iiint }_V^{}dV={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{\int }_0^{3-rcos\theta -rsen\theta }rdzdrd\theta =3\pi$

 

${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{\int }_0^{3-rcos\theta -rsen\theta }rdzdrd\theta$

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Symbolab.

 

12.2.2 Coordenadas Esféricas

Las relaciones de transformación son:

 

r=ρsenφx= ρsenφcosθy= ρsenφsenθz= ρcosφ${\rho }^2=r^2+z^2$

 

El elemento de volumen se escribe como:

 

$dV={\rho }^{2}sen\phi d\phi d\rho d\theta$

 

Evaluación de la Integral

Una integral triple en coordenadas esféricas tiene la forma general:

 

${\iiint }_V^{}f\left(\rho ,\theta ,\phi \right)dV={\int }_{\alpha }^{\beta }{\int }_{h1\left(\theta \right)}^{h2\left(\theta \right)}{\int }_{h1(\rho ,\theta )}^{h2(\rho ,\theta )}f\left(\rho ,\theta ,\phi \right){\rho }^{2}sen\phi d\phi d\rho d\theta$

 

Ejemplo de Volumen en Coordenadas Esféricas

 

Ejemplo 4

Nota: El ejercicio del ejemplo 2 resuelto en coordenadas cartesianas tiene simetría esférica, por tanto resulta más eficiente resolver el ejercicio en coordenadas esféricas.

Determinar el volumen de una esfera de radio 3 generado por la ecuación:

$x^2+y^2+z^2=3^2$

El radio de curvatura ρ, varía desde 0 hasta 3

El ángulo φ que se encuentra en un plano vertical, varía desde 0 hasta ?, lo que representa medio círculo vertical.

El ángulo θ que se encuentra en el plano horizontal xy, varía desde 0 hasta 2?, haciendo girar 360 grados al semicírculo vertical, formando una superficie esférica.

El volumen V de la esfera, resulta ser el dominio V de integración si $f\left(\rho ,\theta ,\phi \right)=1$ en la siguiente integral:

${\iiint }_V^{}f\left(\rho ,\theta ,\phi \right)dV={\int }_{\alpha }^{\beta }{\int }_{h1\left(\theta \right)}^{h2\left(\theta \right)}{\int }_{h1(\rho ,\theta )}^{h2(\rho ,\theta )}f\left(\rho ,\theta ,\phi \right){\rho }^{2}sen\phi d\phi d\rho d\theta$

${Volumen de la esfera=\iiint }_V^{}dV={\int }_{\alpha }^{\beta }{\int }_{h1\left(\theta \right)}^{h2\left(\theta \right)}{\int }_{h1(\rho ,\theta )}^{h2(\rho ,\theta )}{\rho }^{2}sen\phi d\phi d\rho d\theta$

$Volumen de la esfera={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^3{\rho }^{2}sen\phi d\rho d\phi d\theta$

Primero: Resolvemos la integral interna, respecto a $\rho$:

${\int }_0^3{\rho }^{2}sen\phi d\rho =sen\phi {\left[\frac{{\rho }^3}{3} \right]}_0^3=9sen\phi$

Segundo: Resolvemos la integral intermedia, respecto a $\phi$:

${\int }_0^{\pi }9sen\phi d\phi =9{[-cos\phi ] }_0^{\pi }=9\left[-cos\pi +cos0\right]=9\left[1+1\right]=18$

Tercero: Resolvemos la integral externa, respecto a θ

$Volumen de la esfera={\int }_0^{2\pi }18d\theta =18\left[2\pi -0\right]=36\pi$

Nota:

El resultado del volumen de la esfera se ratifica utilizando coordenadas esféricas, la integración resultó más fácil debido a la simetría esférica y sus coordenadas.

 

 

 

 

 

Ejemplo 5

Utilizando integral triple en coordenadas esféricas, calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies:

 

$x^2+y^2+z^2=4$; $y=x$;$y=\sqrt{3}x$$z=0$

 

Definir el dominio de integración:

 

Nota. Fuente: Creación del autor generada en Wolfram Mathematica.

 

 

Definir el orden de integración: vamos a escoger rdzdrd$\theta$

 

$V(En coordenadas esféricas={\iiint }_V^{}dV={\int }_{\alpha }^{\beta }{\int }_{h1\left(\theta \right)}^{h2\left(\theta \right)}{\int }_{h1(\rho ,\theta )}^{h2(\rho ,\theta )}{\rho }^{2}sen\phi d\phi d\rho d\theta$

 

 

 

Configurar los límites de integración: partimos del dominio V

 

Primero: Partimos de las ecuación de los dos planos verticales, el volumen entre las superficies se encuentra en el primer octante, entonces el ángulo $\phi$ varía entre 0 y ?/2

$0\le \phi \le \frac{\pi }{2}$

 

Segundo: En el plano x,y se encuentra la región limitada por el círculo $x^2+y^2=4$, las rectas $y_2=\sqrt{3}x$ ; $y_1=x$. Derivando las ecuaciones de las dos rectas encontramos la pendiente ( $m=tan\theta$ )de las dos rectas y encontramos los ángulos $\theta 1 y \theta 2$ de las dos rectas:

 

y₁’=m1=tanθ11=m1= tanθ1$\theta 1={tan}^{-1} \left(1\right)=\frac{\pi }{4}$

y₂’=m2=tanθ2√3=m2= tanθ2$\theta 2={tan}^{-1} \left(\sqrt{3}\right)=\frac{\pi }{3}$

$\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{3}$

 

Tercero: Encontramos la variación del radio de la esfera de radio 2 $\rho$:

 

$0\le \rho \le 2$

 

Evaluar las integrales:

$V\left(En coordenadas esféricas\right)= {\iiint }_V^{}dV={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\int }_0^2{\rho }^{2}sen\phi d\rho d\theta d\phi$

 

Paso 1. Integración respecto a ρ, se consideran constantes φ, $\theta$:

 

${\int }_0^2{\rho }^{2}sen\phi d\rho =sen\phi {\left[\frac{{\rho }^3}{3} \right]}_0^2=sen\phi \left[\frac{8}{3} \right]$

 

Paso 2. Integración respecto a θ, se considera constante $\phi$:

 

${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\left(\frac{8}{3}sen\phi \right)d\theta =\frac{8}{3}{sen\phi \left[\theta \right]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{2\pi }{9}sen\phi$

 

Paso 3. Integración respecto a $\phi$:

 

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(\frac{\pi }{12}sen\phi \right)d\phi =\frac{2\pi }{9}{[-cos\theta ]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{2\pi }{9}$

$V\left(En coordenadas esféricas\right)= {\iiint }_V^{}dV={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\int }_0^2{\rho }^{2}sen\phi d\rho d\theta d\phi =\frac{2\pi }{9}$

 

El cálculo de volúmenes mediante integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas es una herramienta esencial para resolver problemas en dominios tridimensionales con simetrías específicas. Estas técnicas simplifican el análisis al adaptar los límites de integración y factores diferenciales a la geometría del problema, facilitando la resolución de escenarios complejos en matemáticas aplicadas, ingeniería y ciencias físicas.

Las referencias de Piskunov (1977) y Thomas (2010) ofrecen una base sólida para comprender y aplicar estas metodologías, destacando su utilidad práctica en la modelación y análisis de sistemas con simetría rotacional o radial. En conjunto, estas herramientas demuestran la flexibilidad y potencia del cálculo multivariable en la resolución de problemas del mundo real.