1.1 Cestas de Mercado y el Espacio de Consumo

Una cesta de mercado es una combinación específica de cantidades de dos o más bienes. En el modelo de dos bienes que usamos en este curso, una cesta se representa como el par ordenado (x1, x2): x1 unidades del bien 1 y x2 unidades del bien 2. Por ejemplo, si el bien 1 es arroz en kilogramos y el bien 2 representa todos los demás gastos alimentarios del hogar en dólares, entonces la cesta (50, 860) significa que el hogar compra 50 kg de arroz y destina $860 a otros alimentos. El conjunto de todas las cestas posibles con cantidades no negativas forma el espacio de consumo, que gráficamente es el cuadrante positivo del plano cartesiano. El objetivo de esta semana es entender cuál de todas las cestas factibles el consumidor prefiere, y por qué.

1.2 Curvas de Indiferencia: Los Gustos en un Gráfico

Una curva de indiferencia es el conjunto de todas las cestas de bienes que generan al consumidor exactamente el mismo nivel de satisfacción o bienestar. Si se pregunta: ¿prefiere la cesta A o la cesta B?, y se responde que ambas dan igual satisfacción, entonces A y B están en la misma curva de indiferencia. Si se grafica todas las cestas que generan un mismo bienestar, trazamos una curva; si trazamos curvas para muchos niveles distintos, obtenemos el mapa de indiferencia, que es la representación completa de los gustos del consumidor. Una analogía útil: imagina que el plano (x1, x2) es un terreno y que las curvas de indiferencia son las curvas de nivel de un mapa topográfico. Las curvas más alejadas del origen representan mayor bienestar.

El siguiente gráfico muestra un mapa de curvas de indiferencia tipo Cobb-Douglas con seis niveles de utilidad crecientes. Observa cómo las curvas más alejadas del origen representan mayor bienestar, cómo nunca se cruzan entre sí y cómo su forma convexa refleja la TMgS decreciente:

Figura 1

Mapa de curvas de indiferencia Cobb-Douglas con seis niveles de utilidad crecientes

2.1 Utilidad Ordinal vs. Cardinal

Una función de utilidad U(x1, x2) asigna un número a cada cesta de bienes de tal manera que las cestas preferidas reciben números más altos. La propiedad fundamental es que la utilidad tiene carácter ordinal, no cardinal: los números solo importan en su orden. Si U(A) = 10 y U(B) = 5, solo sabemos que el consumidor prefiere A sobre B, pero NO que A le genera el doble de satisfacción. La magnitud no tiene interpretación económica directa. Este carácter ordinal tiene una consecuencia práctica muy útil: si multiplicamos U por cualquier número positivo, o si la elevamos a cualquier potencia positiva, las preferencias NO cambian. Esto se llama transformación monotónica creciente y nos da mucha flexibilidad algebraica.

Para entender mejor la diferencia entre utilidad ordinal y cardinal, considera el siguiente ejemplo del mercado ecuatoriano. Supongamos que María, una estudiante de Quito, evalúa tres cestas: la cesta A contiene 3 kg de arroz y $50 en otros alimentos, la cesta B contiene 5 kg de arroz y $30 en otros alimentos, y la cesta C contiene 1 kg de arroz y $80 en otros alimentos. Si María asigna U(A) = 20, U(B) = 15 y U(C) = 25, lo único que sabemos con certeza es que prefiere C sobre A y A sobre B. No podemos afirmar que C le genera un 25% más de satisfacción que A, ni que A le genera un 33% más que B. Los números solo establecen un ranking, no magnitudes de felicidad. Esta propiedad ordinal es fundamental porque libera al economista de la imposible tarea de medir la satisfacción en unidades absolutas y le permite concentrarse en lo que realmente importa para predecir el comportamiento del consumidor: el orden de las preferencias y cómo ese orden interactúa con los precios y el ingreso disponible.

2.2 Los Cuatro Tipos de Función de Utilidad

Hay cuatro familias de funciones de utilidad que cubren la enorme mayoría de los ejercicios de este curso. Cada una genera un tipo distinto de curvas de indiferencia y describe una relación diferente entre los dos bienes. Reconocerlas de inmediato es una habilidad clave:

El siguiente gráfico muestra la forma geométrica de las curvas de indiferencia para cada tipo de función de utilidad:

Figura 2

Los cuatro tipos de curvas de indiferencia

2.3 La Tasa Marginal de Sustitución (TMgS)

La Tasa Marginal de Sustitución (TMgS) mide la tasa a la que el consumidor está dispuesto a intercambiar una unidad del bien 1 por unidades del bien 2, manteniéndose sobre la misma curva de indiferencia, es decir, sin cambiar su nivel de bienestar. Algebraicamente, la TMgS es la pendiente de la curva de indiferencia en un punto dado. Cuando se trabaja con derivadas: TMgS = -(dU/dx1) / (dU/dx2) = -UMg1/UMg2, donde UMgi es la utilidad marginal del bien i. Para la función Cobb-Douglas U = x1^a . x2^b, el cálculo simplifica a TMgS = -(a/b)(x2/x1). Este atajo es muy útil para resolver ejercicios: no necesitas derivar desde cero cada vez. La TMgS decrece en valor absoluto a medida que avanzas hacia la derecha sobre una curva de indiferencia convexa, principio conocido como TMgS decreciente.

Figura 3

Infografía: Principio de la TMgS decreciente

3.1 La Condición de Tangencia: TMgS = p1/p2

Ahora tenemos las dos piezas del modelo del consumidor: la restricción presupuestaria (Semana 1) y las curvas de indiferencia (esta semana). La pregunta que nos queda responder es: ¿cuál es la cesta que genera mayor bienestar dentro del conjunto presupuestario? Gráficamente, buscamos la curva de indiferencia más alta que todavía toca la recta presupuestaria sin cruzarla. Eso ocurre exactamente en el punto donde la curva de indiferencia es tangente a la recta presupuestaria. En el punto de tangencia, la pendiente de la curva de indiferencia (la TMgS) iguala exactamente la pendiente de la recta presupuestaria (-p1/p2).

Esta es la condición de optimización: |TMgS| = p1/p2. La interpretación económica es directa: en el punto óptimo, el valor subjetivo que el consumidor da al bien 1 en términos del bien 2 iguala exactamente su costo objetivo en el mercado. Si |TMgS| > p1/p2, el consumidor valora x1 más de lo que cuesta: debería comprar más x1. Si |TMgS| < p1/p2, ocurre lo contrario.

Para consolidar esta intuición con un ejemplo concreto del mercado ecuatoriano, consideremos un hogar de Guayaquil que consume carne de res (bien 1) y arroz (bien 2). Si en un punto determinado de su curva de indiferencia la TMgS es igual a 4 (está dispuesto a ceder 4 kg de arroz por 1 kg adicional de carne), pero el cociente de precios del mercado es p1/p2 = 6 (la carne cuesta 6 veces más que el arroz por kilogramo), entonces el consumidor valora la carne menos de lo que le cuesta en el mercado. En esta situación, debería reasignar su gasto: comprar menos carne y más arroz, desplazándose a lo largo de su restricción presupuestaria hasta que la TMgS suba lo suficiente para igualar el cociente de precios. Solo cuando llegue al punto donde su valoración subjetiva (TMgS) coincida exactamente con el precio relativo del mercado (p1/p2), habrá encontrado su cesta óptima. Este mecanismo de ajuste es lo que garantiza que en el óptimo no exista ninguna redistribución del gasto que pueda mejorar el bienestar del consumidor, dado su ingreso y los precios vigentes. La elegancia del modelo radica precisamente en que toda la solución se reduce a igualar dos pendientes: la de los gustos (curva de indiferencia) con la del mercado (recta presupuestaria).

Figura 4

Infografía: Proceso de maximización de utilidad del consumidor en tres pasos

3.2 Soluciones Interiores y Soluciones de Esquina

La condición |TMgS| = p1/p2 describe la solución interior: el punto óptimo tiene cantidades positivas de ambos bienes. Pero no siempre es así. Cuando un bien es muy caro relativo a la valoración subjetiva del consumidor, la solución puede ser una esquina: el consumidor gasta todo el ingreso en un solo bien. Los sustitutos perfectos casi siempre generan soluciones de esquina, mientras que la Cobb-Douglas siempre da solución interior. Los complementarios perfectos se resuelven en el vértice de la L.

3.3 Ejercicio Resuelto: Hogar de Cuenca Paso a Paso

Un hogar de Cuenca tiene la función de utilidad U = x1^(1/3) . x2^(2/3), donde x1 = kilogramos de pollo al mes (p1 = $3,50) y x2 = otros gastos alimentarios (p2 = $1). El ingreso mensual para alimentos es m = $600.

Resolución:

• Paso 1, escribimos la restricción presupuestaria: 3,50 x1 + 1 x2 = 600.
• Paso 2, calculamos la TMgS usando el atajo Cobb-Douglas: TMgS = -(a/b)(x2/x1) = -(1/3)/(2/3)(x2/x1) = -(1/2)(x2/x1).
• Paso 3, aplicamos la condición óptima: (1/2)(x2/x1) = 3,50, lo que da x2 = 7 x1 (los otros gastos son siempre 7 veces el gasto en pollo).
• Paso 4, sustituimos en la restricción: 3,50 x1 + 7 x1 = 600, entonces 10,50 x1 = 600, x1* = 57,14 kg de pollo, x2* = 7 x 57,14 = $400.
• Paso 5, verificamos: 3,50 x 57,14 + 400 = 200 + 400 = $600. El gasto iguala exactamente el ingreso.

La Cobb-Douglas tiene una propiedad fundamental: el hogar siempre gasta la fracción a/(a+b) = 1/3 de m en x1 y b/(a+b) = 2/3 de m en x2, independiente de los precios.

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Solución gráfica del problema de maximización del hogar de Cuenca